Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Js)___________П (x, + L/2) kL
Регулярная часть решения y^1 не дает вклада в плотность статического
тока.
Действительно, с учетом (X, 9) имеем
Е У$Пр (Еи) [1 - nf (?,)] = X V, (EJ [1 - nF (?,)] -
\i И
Е ra*F (V) [1 - ( V)! П nF (^)]
¦ (Х12)
и'
Замечая, что в пределе со -*¦ 0 сумма
D( ш)
Y,AW"nF(Ev)[X-nF (?п)]:
и не зависит от р/, мы видим, что выражение (X. 12) обращается в нуль.
Таким образом, конечное значение плотности статического прыжкового тока
обусловлено сингулярной частью решения (X. 11). Подставляя (X. 8), (X.
11) в формулу (IV. 5.8), мы получаем в пределе при со 0 для средней по
объему плотности тока
что, с учетом определения потока i(xi) через границу х = Xi, в точности
совпадает с выражением (IV. 5.14).
XI. Некоторые результаты стандартной теории протекания [51-53]
Пусть имеется решетка регулярно расположенных узлов, причем соседние узлы
соединены связями. Будем для определенности считать, что наличие связи
между узлами означает возможность протекания по ней жидкости; иногда
говорят, что узлы, соединенные связями, "смачивают друг друга".
Существует два способа введения беспорядка в рассматриваемой системе:
ПРИЛОЖЕНИЯ
367
а) будем случайным образом, с вероятностью 1-р, блокировать (разрывать)
связи в системе (задача связей);
б) будем случайным образом, с вероятностью 1 - р, блокировать узлы
(задача узлов).
Макроскопически большая ("бесконечная") система называется протекае-мой,
если сквозь нее возможно течение жидкости по неразорванным связям (в
задаче связей) или по связям, проходящим только через открытые (небло-
кированные) узлы (в задаче узлов). Очевидно, что исходная система при р =
1 протекаема. Задача протекания состоит в определении минимального
значения р = рс, вплоть до которого бесконечная система остается проте-
каемой.
Будем называть неразорванные связи, сходящиеся в общем узле,
зацепляющимися, а совокупность зацепляющихся друг за друга связей -
кластером связей. Аналогично, кластером узлов называется совокупность
смачивающих друг друга открытых узлов. Ясно, что появление протекания в
бесконечной системе при возрастании р связано с образованием бесконечного
кластера связей или узлов, а порог протекания представляет собой порог
образования бесконечного кластера. В области р <. Рс в системе существуют
лишь конечные кластеры, размеры которых возрастают при р^~рс.
Задача узлов в известном смысле оказывается более общей Именно, задачу
связей можно всегда свести к задаче узлов на решетке иной геометрии,
помещая узлы в центрах связей и сопоставляя блокированные узлы
блокированным связям (обратная процедура возможна не всегда). Рис. 33, а
иллюстрирует задачу связей для простой квадратной решетки; а рис. 33,6 -
эквивалентную ей задачу узлов на решетке, в которой связаны не только
ближайшие, но и часть вторых соседей. Видно, что геометрия решетки в
эквивалентной задаче узлов оказывается, вообще говоря, более сложной,
нежели в исходной задаче связей. По этой причине сводить задачу связей к
задаче узлов не всегда удобно.
Между порогами протекания в задаче связей и узлов, р^ и р^\ для одной и
той же решетки существует соотношение ^ Р^- Это неравенство есть
отражение того факта, что блокировка узла означает одновременно
блокировку всех связей, сходящихся в этом узле.
За исключением небольшого числа простейших двумерных решеток, порог
протекания не удается найти аналитически. Существует, однако, большое
число расчетов на ЭВМ для различных двумерных и трехмерных решеток;
некоторые результаты этих расчетов приведены в табл. IV, взятой из обзора
[52].
368
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица IV
Решетки г 'У "е-ЧЬ) 1
Двумерные
Шестиугольная 3 0,6527 * 0,700 1,96 0,61 0,427
Квадратная 4 0,500 * 0,590 2,00 0,79 0,466
Треугольная 6 0,3473 * 0,500 2,08 0,91 0,455
Трехмерные
Типа алмаза 4 0,388 0,425 1,55 0,34 0,145
П. к. 6 0,247 0,307 1,48 0,52 0,160
О. ц. к. 8 0,178 0,243 1,42 0,68 0,165
Г. Ц. К. 12 0,119 0,195 1,43 0,74 0,144
*) Звездочкой отмечены точные результаты.
Из табл IV видно, что значения и р^ заметно различаются для решеток
разных типов. В то же время существуют определенные комбинации параметров
(так называемые приближенные инварианты теории протекания), мало
меняющиеся при переходе от одной решетки данной размерности к другой. К
числу таких инвариантов относятся:
1) Среднее число связей, приходящееся на один узел, vc = zp^\ где г -
координационное число. Из табл. IV видно, что для двумерных решеток vc "
2,0, а для трехмерных vc " 1,5; отклонения от указанных значений не
превосходят 0,1. Соответственно можно записать приближенное
"эмпирическое" соотношение
d
V' = ^T'
где d - размерность пространства.
2) Критическая доля разрешенного объема vc, определяемая следующим
образом. Пусть / есть доля объема, занимаемая сферами, описанными вокруг
каждого узла решетки и радиус которых равен половине расстояния до
ближайшего узла. Величина, vc есть доля объема, занятая сферами,
