Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
J я2 ch2 t + Р2 2я VP2 + и2
VII*. Функции Грина в задаче с гамильтонианом (II. 16.1') при Т = 0
Как указывалось в § II. 16, в ряде задач, связанных с изучением поведения
сильно локализованных электронов, можно исходить нз упрощенного
гамильтониана (II. 16.1'):
н = 2 еАч + Y ? Г (V *') <VI 1-1)
К К, V
ПРИЛОЖЕНИЯ
357
Здесь Я- тот же набор квантовых чисел, что и в §§ II. 16 и
1.6,
V(X, Я') = К(Я', Я), а суммирование во втором слагаемом в правой
части
можно ограничить условием X' ф X.
Как и в § II. 16, разделим все уровни с квантовыми числами X на
два
класса - заполненные при Т = 0(Х = (5) и вакантные при Т = 0(Я =
а).
Обозначив через Ф точную волновую функцию основного состояния системы (в
пространстве чисел заполнения), мы имеем
ар"а|зФ = Ф, а?ааФ = ааФ = 0. (VII.2)
Условия (VII. 2) позволяют без труда найти точные выражения для
одночастичной и двухчастичной запаздывающих функций Грина G и
G(X, ^;7)^"aA|a+)>(+) = /0(I)<[ax (0), а+ (f')]+) (VII.3)
И
Кш (Х1г Я2; Я3, Я4; 0 = "4Л, I а1ахУ){±' =
= г0 (I) < [e+ (I) aAj (I),a+ (0) (0)]±). (VII.4)
Угловые скобки в правых частях равенств (VII. 3) и (VII. 4) обозначают
усреднение по основному состоянию рассматриваемой системы, т. е.
квантовомеханическое усреднение с волновой функцией Ф.
В задаче с гамильтонианом (VII. 1) уравнение движения для функции G имеет
вид
О -Ж - 0 - 2 к {К Х"} Ы"ах"ах 14"<+) = - "и'в (<)• (VII.5)
А"
Пользуясь правилами коммутации для операторов аА, аА и равенствами (VII.
2), легко убедиться, что здесь имеет место точное расцепление:
"п+агаА | а+))<+> = бА"рО (я, я'; /). (VII.6)
Символ бА"р означает, что состояние X" непременно должно принадлежать
классу р, т. е. суммирование по X" в левой части (VII. 5) производится
только по состояниям этого класса. Подставим (VII. 6) в уравнение (VII.
5) и выполним преобразование Фурье по времени t, полагая
+ оо
С (Я, Я';0= ^ dEe~iEtG (Я, Я'; Е).
Получим (Я = а или X = Р)
0(Л,Я';?) = --------------------------------(VII.7)
2я Е - Е^
где энергии ЕЛ даются выражениями (II. 16.6).
358
ПРИЛОЖЕНИЯ
Для функций Д'(±) получаются следующие уравнения движения:
+О *ш-
-10 (Л. Ю - у Он *')] (("wk, I <^,"(±) =
к'
= - 6(0 <К"А,. яа>а4]±> - б (О А±. (VI 1.8)
Величины Л± определяются этим равенством. Пользуясь правилами коммутации
и формулами (VII. 2), легко получить следующие соотношения:
((aZa?'ak'ak-1 яяХ)}(±) = 6A'0^(±) (Ч Ч К Ч *) -
-Т {(бл.А'^А') ^(+) (Ч Ч Ч Ч о + (6а,а^6Л2Л,) /С'-' (Л" Л2: Х3, Я4; <)}.
(VI 1.9)
Комбинируя это с уравнением (VII. 8) и выполняя в последнем
преобразование Фурье, получим систему уравнений для функций /С<+) и К*-':
(Я - < + El) *<+' + К (Я" Я2) = - 4г Л+.
(VII.10)
(Я - < + El ) К(-" + V (V *2) К(+) = - w А_.
Здесь, как и в (VII. 7), Я^, Я^2 суть точные одпочастичные энергии (II.
16.6).
По определению (VII. 4) функция K(±)(^i,4 К3, К4; О отлична от нуля лишь
при Xi = Р, Я,2 = а. Принимая это во внимание и вычисляя средние значения
антикоммутатора А+ и коммутатора Л_, находим окончательно
/С(-> (Р, а; Кз, Я4; я) = -5--------. . (VII.II)
2я ?-Я;+я;+П(Р, а)
Полюсы этой функции соответствуют энергии возбуждения системы при
"перебросе" одного электрона, т. е. энергии возбуждения пары "электрон в
состоянии а и дырка в состоянии р". Видно, что эта энергия дается
выражением (II. 16.8), чего, разумеется, и следовало ожидать.
VIII*. Диагонализация формы 62Qn
Вблизи круговой орбиты
? (т) = R (cos (2лт/() - 1, Sin (2ят/(), 0) (VIII.1)
запишем близкие к ней траектории г(т) в виде г (т) = ? (т) + 6г (т),
ОО
t V* ( 2япт , . . 2яят \
QJ* \ I Г" ПАС . _ 1_ К. С1П - I
= X (afl C0S ~ Ьп sin ^Т1) ' (VIII.2)
причем ао = - ? ап. С учетом сказанного в основном тексте (§ III. 4) об
п-1
ПРИЛОЖЕНИЯ
359
инвариантности QK и Q" относительно поворотов траектории как целого,
можно считать, что
ai = {Л! V2 cos (ф + я/4) - R, 0, 0} = {а1х, 0, 0},
Ь) = {& V5" sin (ф + я/4) sin ф, R -\pl sin (ф + я/4) cos ф, o}s
(VIII.3)
= {b\x< bi у, 0}.
Очевидно, величины
Ро (т, т') = ? (т') - ? (т') =
= 2R sin я(т~т/) {sin nSl±El., eos T-i , 0}, (VIII.4)
p (r, t') = Po (T, t') + Sp (t, t') =
00
/ ГЧ I V1 • ЯП (т - т') Г . nn (r +1') , n, яп(т + т')1
= Po (T, t') + 2^ sin -t 1 - 2a" sin ------------------------ + 2b"
cos -'
n = l
(VIII.5)
обладают свойствами периодичности:
Po (т, т') = ро (т ± t, т') = ро (т, т' ± О,
бр (т, т') = бр (т ± т') = бр (т, т' ± t).
Для функций Ф(т, т'), обладающих этим свойством, справедливо
преобразование
t t п 2л
\ dTS dX' ф (т' х')=4?\ d*\ ф (i (* + Y). 2^(Y - X)), (VIII.7)
00 00
где
Х = я(т - x')/t, у = я (т + x')/t. (VIII.8)
Воспользуемся этим при анализе величины AQ" (см. (III. 7.22)). Точнее,
будем
рассматривать несколько более общее выражение, отвечающее корреляционной
функции
? (г) = ф,/ (аг). (VIII.9)
Используя ее, мы имеем вместо (III. 7.22) л 2л
аф^2
AQn - ¦
^ d% ^ dy | 2/' (ар0 (х)) +
8я2
о о \2
+ ("р.) - itoll/' <"л> + " "ЕйД г (вд)\. (УШЛО)
Ро Ро Ро )
