Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
использовании формул (I. 1) для фактического расчета электропроводности
следует проявлять осторожность: учет только первого неисчезающего
приближения для массового оператора может оказаться недостаточным ввиду
сингулярного (в отсутствие взаимодействия) характера поправок к нему.
Для доказательства второй теоремы о корреляции можно было бы
воспользоваться той же формулой (I. 1) при температуре Т ф 0. Множитель
/ F - Е0\ "
ехр I у 1 появился бы при этом - с учетом всех взаимодействии из
спектральных представлений для функций Грина. Суть дела, однако, можно
понять, просто вычисляя концентрацию электронов п в той области энергий,
в которой плотность состояний р(Е) непрерывна. Для этой цели надо лишь
соответственно ограничить область интегрирования по ? в общем выражении
для полной концентрации электронов ([14], § 5):
ОО
п = 2 (2jt)s ^ dp ^ dE пр (Е) Im Gr (р, Е).
•- ОО
Мы имеем
ОО
п = 2 (2я)3 ^ dp ^ dE пр (Е) Im Ог (р, Е),
Еа
где, как и в § 1.5, Ей - минимальная энергия, при которой функция р(?)
отлична от нуля и непрерывна.
При Eo-F Т равенство (I. 25') дает
(F - Е \
f-- J. (I. 26)
чем и доказывается вторая теорема о корреляции.
(I. 25) (1.25')
350
ПРИЛОЖЕНИЯ
Наконец, третью теорему о корреляции можно получить просто из закона
сохранения полной энергии системы "вещество + фотоны" с учетом равенства
(1.6.13). Действительно, поглощение светового кванта (или квантов) можно
формально представить себе как процесс, состоящий из двух этапов. На
первом этапе один электрон изымается из системы (или добавляется в нее) и
она переходит в "промежуточное состояние", имея в нем на один электрон
меньше (больше), чем в начальном. На втором этапе электрон возвращается
(изымается) вновь, причем так, что конечная энергия системы N электронов
отличается от начального своего значения.
Обозначим через Ei% Nt Ет% w+i и Efl N собственные значения энергии всей
многоэлектронной системы соответственно в начальном, промежуточном и.
конечном состояниях. Рассмотрим для простоты однофотонный переход,
обозначая частоту света через соо. Очевидно,
Йш0 ~ Ef N - Et' N ss Е2 - Еь (I. 27)
где
^2 ~ N ^т, N ± I> ~^l,N ~ Ет, N ± I-В силу (1.6.13) это доказывает нашу
теорему.
II*. Поле упругих деформаций
Рассмотрим кристалл с элементарной ячейкой, содержащей г атомов. Заменяя
часть их хаотически расположенными атомами примеси, мы получим-
неупорядоченный раствор замещения. Положение узлов решетки в нем можно
охарактеризовать, задавая номер атома в данной ячейке I и тройку
координат центра элементарной ячейки g. Конфигурацию атомов растворенного
вещества можно описать [31, 61], задав совокупность случайных величин
с(g-, Д; по определению c(g, /) = 1, если узел {g, 1} занят атомом
примеси, и c(g,t)-0, если узел {g, /} занят атомом растворителя.
Хаотичность расположения примесей в решетке может быть обусловлена двумя
причинами.
Во-первых, при конечных температурах всегда имеют место термодинамические
флуктуации состава [31]. При этом роль "примеси" могут играть и
нерегулярно расположенные атомы тех же веществ, которые при Т = 0
образовывали бы твердый раствор.
Во-вторых, как обычно в примесных полупроводниках, хаотическое
распределение атомов примеси в пространстве может быть навязано условиями
легирования. Такое распределение метастабильнб; однако время жизни его
может быть очень велико (годы и более).
В силу различия атомных радиусов растворенного вещества и растворителя в
решетке возникнут статические деформации: положения равновесия атомов
изменятся по сравнению с идеальной решеткой. Обозначим сдвиг данного
атома из положения равновесия (вектор смещения) через u(g, /). Значения
компонент и вычисляются с помощью уравнений механики. Соответствующий
расчет можно найти в книгах [31, 61]; мы здесь лишь формулируем
результаты. Ограничимся при этом областью сравнительно малых флуктуаций,
в которой справедливо правило Вегарда [31]. Оказывается, что в этом
случае решетка испытывает деформацию двух типов - однородную и
неоднородную. Первая, не нарушая пространственной периодичности системы,
приводит лишь к изменению постоянных решетки; вторая, локализованная
вблизи примесных атомов, приводит к случайным отклонениям структуры от
периодической. Таким образом, вектор смещения можно записать в виде*)
и (g, /) = u(0) + U(1) (g, /). (II. 1)
*) Принятые нами обозначения несколько отличаются от использованных в
[31, 61].
ПРИЛОЖЕНИЯ
351
Однородная деформация, описываемая вектором и<0), получилась бы при
строго периодическом расположении примесных атомов; неоднородная же
связана с флуктуациями в их распределении. Соответственно величину c(g,l)
также можно представить в виде
с (g, /) = с (/) + Ас (g, I). (II. 2)
Здесь через c(l)= (c(g,/)) обозначена средняя атомная доля примеси в узле
I.
Удобно представить u(1>(g, /) и Ac(g,/) в виде разложений Фурье, полагая
ud'fg, /) = G_1 ? eikeu (k, I), (II. 3)
к
Ac (g, /) = G~l Yj e'kS Ac (k> О- (II. 4)
