Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
простой двухзонной модели, рассмотренной в п. а), мы получаем (сос, 0(к)
= ЕС} "(к)/Й)
оо t V
•VK,">)-да-EE \ \dl'x
(r) q к -"о -оо - оо
X (к; + q) V (кг, q; с) ехр |'-I ^ dQ (сосо (ке + q) - cos) +
t" -i
+ i ^ dQ (coc (ke + q) - coc (ke)) - plv (k*) V (kr, q; v) X o -*
X exp -i ^ dQ (coco (ke) - cos) -f / ^ d0 (coco (ke + q) - coD (ke)) | X
L о о -I'
X pcv (k-/0 exp ^ dQ (co0 (kg) - co;) j X
X {bqe~ ioV" + bt e'V"} ai+ q, 0ak. 0 + ... (2.43)
Здесь опущены (обозначенные многоточием) три слагаемых, построенных так
же, как и явно выписанное выражение. Простоты ради (как и в п. а))
опущены и все нерезонансные вклады. Подставим теперь выражение (2.43) в
правую часть (2.6) и выполним усреднение по ансамблям невзаимодействующих
электронов и фононов. Рассмотрим стоксову компоненту рассеянного света.
При этом
ОО
(тшёг),=(iO2 \ di0's4z ((0* " ю,) (ш" "г) ЛрЬ (со*' ш<)>
- со
(2.44)
332 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
где
Лрь(со5, со/) ftV'X S 2л ^(к-с)Х
О к -со
X ехр | - i ^ dB [сосц (к9)-cosj | ^ dt' ехр j - / ^ dB [acv (к0) - оог]
|х
t
Хр1ео( к_г0 J dt"el^"[V(k_t", 0; с)- V (к_г" 0; о)]. (2.45) с
Через со0 здесь обозначена частота оптического фонона при
q - о.
Пользуясь равенством (2.28) и полагая^
Vc, v (к, В) 4 Ve, 0 (0, 0) ^ V(r)"Сс, v, (2.46)
где Qo - объем элементарной ячейки, а Сс, v - константы, мы можем сразу
же выполнить интегрирование по t и t". Переходя затем от суммирования по
к к интегрированию по обычной формуле (с учетом cnHHOBorVмножителя 2)
оо 2я оо
2(- • \ k-Ldk± S d<P
k 0 0 -оо
и интегрируя по ср, получаем для дифференциального сечения рассеяния
/ d2cr"h Л I f со. - со, N / со. - со,- + con \ I2
,
(дП^Х-^1о(-^)-ч( ' 5-)| б(">-".-"")¦
(2.47)
Здесь
= П Ь$0' (1 - 5-) X
/со"\2 /Сг - С"у 0
XU)(-^Sr-)^. (2-48)
оо оо
Q (х) = i ^ \ ds ехр {- / [(г + x)s + s3/3]} X
0 -оо
X \ ds' ехр 0 [(г + х) s' + s,3/3]}. (2.49)
- оо
Интегралы по s, s' дают
2л2 [Ai2 (а + г) - iAi (х + г) Bi (х + г)],
§ 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ \с <
333
И окончательно
Q(x)-Q(x') =
= {Ai' (?) Bi' (6) - lAi (?) Bi (?) + i [Ai'2 (?) - IAP (?)]}6_,. (2.50)
Как видно из предшествующих выкладок, электрическое поле по-разному
влияет на рассмотренные нами процессы рассеяния. При внутризонном
рассеянии электрическое поле ускоряет электрон и дырку в возбужденном
промежуточном состоянии, изменяя энергию возбуждения. Рекомбинация
электроннодырочной пары связана поэтому с испусканием фотона с энергией
Йсо5, которая отличается от энергии падающего фотона Йсо,-. Иначе говоря,
внутризонное рассеяние света, упругое в отсутствие электрического поля,
оказывается неупругим при наличии его.
С другой стороны, при комбинационном рассеянии фононами электрическое
поле не изменяет частоту рассеянного света, коль скоро мы считаем
достаточно большой длину корреляции случайного поля (Ф. Бехштедт, Р.
Эндерлайн, 1977). Роль электрического поля в этом случае состоит в
изменении зависимости сечения рассеяния от частоты падающего света.
Перейдем теперь ко второй части - усреднению по случайному полю.
Воспользуемся, как и ранее, гауссовым распределением (V. 2.14). При
внутризонном рассеянии мы получаем, пользуясь формулами (2.1), (2.35) и
(V.2.14),
При интегрировании по всем направлениям вектора S в формуле (2.52) было
принято, что модуль вектора обратной решетки К в выражении (2.38) для v
есть константа Ко- Это означает, что первая зона Бриллюэна
аппроксимируется сферой радиуса Ко- Символ г|)2 имеет прежний смысл (см.
(П.ХП.1)), а величины х и у даются формулами (2.33).
Зависимость функции Е(х,у) от у определяет вид спектра рассеянного света
в случайном электрическом поле при данной энергии падающего излучения.
Эта функция была найдена численным методом. Результаты показаны на рис.
27-29. Из
1-х'
где
334 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
рис. 27 видно, что спектр рассеянного света в случайном поле не слишком
сильно отличается от спектра в "среднем" поле с напряженностью
|8|=г|4/2/е. При частоте сщ - со,- функция Е
~У=
hu>s -Eg
ьа
Рис. 27. Спектр рассеяния света при электронном внутризонном рассеянии в
гауссовом случайном электрическом поле при разных энергиях йшг. падающего
света. Параметр х дается выражением х = (с?g - со/)/0.
-у=-
~ЙсО'~?а
АЛ
Eg-TlUJs
с-7
Рис. 29. Низкочастотная часть ("хвост") спектра рассеянного света,
изображенного на рис. 27 (логарифмический масштаб).
Рис. 28. Спектр рассеянного света при электронном внутризонном рассеянии
а) в гауссовом случайном поле и
б) в среднем поле | ? | =в_1г|)^2- Энергия падающих квантов йсо/ = ha>g
(х = 0).
имеет максимум, убывая в сторону высоких энергий примерно как обратный
квадратный корень, а в сторону низких энергий - практически
экспоненциально с показателем, равным 5 (рис. 29).
§ 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ [с < 335
Поэтому среднее значение напряженности случайного поля ¦ф*/2/е можно
определить как из спектра поглощения, так и из спектра комбинационного
