Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется. Подход, развиваемый в этом параграфе, имеет смысл, если
соответствующие корреляционные эффекты существенны только при вычислении
U, но не в других пунктах расчета.
§ 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ le < |0 527
Мы сохраняем прежние обозначения для операторов рождения и уничтожения,
имея в виду, что операторы, фигурирующие в формуле (2.13), более нам не
встретятся.
Как мы сейчас увидим, слагаемое Jo(/) описывает внутризонное рассеяние, а
комбинация величин Jo(0 и Ji(0 - комбинационное рассеяние на оптических
фононах.
а) Внутризонное (электронное) рассеяние. Заменим в выражении (2.7) J
на J0. Тогда
A (со*, со/) = Ае (со*, со/) =
__ *
i V*
?? Slr2>'V ;,;МХ
112 2 -оо к, к' - оо 1 2
X рк, и (0 ak. I, ((), я?'л'(/')ак',;'(0] . (2.18)
= к | es, (Р | h' к> (2-19)
Временную зависимость операторов at, /,(/) и як. i,{f) легко определить в
условиях, когда не играют роли зинеровские меж-дузонные переходы
электронов*). Тогда получается
at, i, (/) = ехр | j | dQ Е (ke, h) j як_/, /" ак, i2 (t) = exp | - j j
dQ E (ke, h) | як_/, /2,
(2.20)
где
При этом коммутатор, фигурирующий в формуле (2.18), легко вычисляется.
Подставляя (2.18) в (2.6) и выполняя статистическое усреднение, находим
(irar)s = (тЫ IZ"Ик, D И - % (к, О] х
* 1,1' к
ОО
X Пт \ йа'эЦ-с (со* - со*) А], г, к (со^, со/) Л/, у, к (со*, сог),
(2.22)
Т оо J
*) Обычно это оправдано при напряженности поля^ 10е-Ь 107 В/см.
328 гл. vr. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
где Пг(к, /) - функция Ферми от Е(к, /) и
оо t
Аг, и к (a>s, го") = ЙОТо 5 "2л" S ^ №'•1" ^ Р'"•1 (к*')Х
I" -оо - оо
F "1
X ехр i [ dQ (йц, Ц' (ке) + cos) + г ^ af6 (cor, г (ке) - со,) -
L о о -I
[Г
i ^0(сог г"(ке)-со;) +
О
+ i jj Й?0 {щ", V (ке) -f cos) j |, (2,23)
юг, /(Ь) = ~ [Я (к, /') - Е (к, /)]. (2.24)
Пусть теперь напряженность электрического поля парал- ¦ лельна одному из
основных векторов обратной решетки К. Тогда периодичность энергии Е (k,
I) как функции к приводит и к периодичности по t:
v (^г) ~ Ю/, г (Ц+г8)' Р\\ Ь О1/) = Ри Ь (k/+rj)' (2.25)
где
Tz----fiKJe\&\.
Преобразуя интеграл по времени в формуле (2.23) с помощью этих
соотношений и выполняя усреднение по структуре Штарка, находим (см.
Приложение XV)
( й2ве \ С е2 \2 V1 п. i\ г 1 " /1. у
5 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ I. "
329
Рассмотрим выражение (2.26) для частного случая двухзонной изотропной
параболической модели, полагая
(Оси (Ь) СО,
hk2
е 2 тг
со., - Eg, opt/^,
(2.27)
(2.28)
Будем при этом рассматривать внутризонное рассеяние электронами зоны
проводимости. Последнее означает, что в формуле (2.26) следует положить 1
= 1' = с, I" = о. Тогда в отсутствие внешнего электрического поля (S = 0)
резонансным оказывается только второй из двух двойных интегралов, стоящих
под знаком модуля в (2.26). Пренебрегая в дальнейшем нерезонансным первым
слагаемым, мы получаем
[~Ш~) = (-Аc)[l-nF% С)] f, (2.29)
\ dQ da>, /. \ mnc J h mn
где
f-
2л
~T
VA t s t
\ ^ $ fl^'expj I Ц dQ[- coco(ke) + м.]+
g/2 -Г/2 0
f . 12
+ г ^ dQ [coco (k0) - co{] | . (2.30)
о I
Легко убедиться, что интеграл f не зависит от параллельной полю
компоненты k\\ вектора к. В частности, можно поло-
жить k\\ - 0. Тогда
о,.:, (к. ) = I" J + 0*1', (2.31)
"ЧШГ- <2-32>
Положим в (2.30)
"со (fex) - "s
Получим
сГ _ ^П
* 7\,04
X =
ег*
2
Г ds
J 2л
2
"со (k±)¦
(2.33)
ет|_
2
(2.30')
330 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Фигурирующий здесь двойной интеграл можно выразить через функции Эйри
первого и второго рода-Лt (г) и Bi(z):
? ~ 7^1 м М Ai № ~1 Iе (х ~м w т (у) +
+ Q(y-x)Ai(y)Bi(x)] |2, (2.34) где В(х - у) - ступенчатая функция.
В случае невырожденного электронного газа nF(k, с) <С 1 и характерное
значение энергии Н2к2/2тс - порядка Т, т. е. | hk |~ л/2тсТ. Если
(тс/тг)Т < Й@, то интеграл / слабо зависит от и его можно вынести за знак
суммы по к в (2.29) при &х=0. Оставшаяся сумма ? пР (к, с) [1 - пР (к,
с)] ~ ? пр (к, с)
к к
равна nQ, где п - концентрация свободных электронов, а й - объем образца.
Таким образом, окончательно
Ыйг),^)- <2-35>
где
( Ai X Ai
pty ц)==< А?м1>'2(у) + й/2(у)1 х> у> (9
1 ' У> • АР (у) [АР (*) + BP (а)], х<у,
*is 2 IpcdS I2 2nhK
^ "0л(r)в ' V = ~^IST' (2'38)
б) Комбинационное рассеяние фононами. Обратимся теперь к рассмотрению
комбинационного рассеяния света с участием фононов. Соответствующий вклад
в оператор А дается выражением
ОО t
Ai, <"*,".¦> =-Вт 5 ш e-"'r X
- ОО
X{[/S (о, (OL + УI (0, ri (03_} (2.39)
или, с учетом (2.16),
§ 2*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ ПРИ 1С < 331
Пользуясь теперь формулами (2.17) и замечая, что
6q (/) = ехр (г'оу) 6q , bq (/) = ехр(- ttoq/) bq, (2.41)
можем переписать оператор взаимодействия электронов с фононами в виде
ph = z ? v (к-<' я; 0 ехР j т \d& (Ь + я. О - Е 0]} X
q к, / '¦О '
X Пк+q. 1йк, I (ехр (- tcoq/) 6q -f ехр (/coqO bq ). (2.42)
Пользуясь соотношениями (2.15), (2.19) и (2.42), мы можем без труда
вычислить двойные коммутаторы, фигурирующие в правой части (2.40). Для
