Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
[G'(P--qU-k-qln-k + r ••• ~qin) W, °ЛР+ + '?1 + '?2+-.. + ?"+!)-- Gc(p+ +
qi + q,+ ... + qk +1) Gc -
-<?, (1.14)
'n-k-\ 'tij J
где F- функция симметричная относительно замены переменных интегрирования
Qi < 9л' • • •' -н 1 < >- Уjn_k
Очевидно, при (?о, г Ф 0 все эти слагаемые суть нечетные функции ш*). Для
доказательства было существенно то обстоятельство, что числа ферми-онных
функций Грина, содержащих аргументы р+ и р~, были одинаковы. Именно по
этой причине графики рис. 32, в надо рассматривать не по отдельности, а
попарно.
Рис. 32.
Замечая, далее, что произведение двух функций Gc в (I. 9) есть четная
функция (о, видим, что при qn,; Ф О
afj ((r)) = - afj (- ")• (I- 16)
Отсюда следует, что эта величина - чисто мнимая. Для преобразования
слагаемого (1.8) удобно воспользоваться тождеством Уорда, выражающим про
сто условие градиентной инвариантности теории. В наших обозначениях это
тождество имеет вид (Е. С. Фрадкин, 1960) **)
"Г" (, + !¦; f - 4) - СС" (р 4 I p-j)-
-w{0'~'(''-t)-0*'(''+t)}- (,Л7)
Здесь Г(е° - векторная электромагнитная вершинная часть, а обратная
функция Грина G~l (р) определяется равенством (1.4). Полагая к = 0,
получаем
*) Исключение составляет случай qt = ..-. = q" = 0, рй - F. В силу
неизбежной [23] сингулярности Dc(q) при q-*¦ 0 соответствующий вклад в
(I. 12) конечен, но вклад в Re о(2) оказывается исчезающе малым.
**) Равенство (I. 17) справедливо при любой температуре.
348
ПРИЛОЖЕНИЯ
из (I. 17) и (1.4)
I? (p, Po + ~; p, Po - -f-) = 1 + ~ [Me (p, Po - ~) -
-Me (p, Po + f)].
В частности, при to 0 мы имеем
nfO) ( , и w Л , сШс (р, ро)
hm Г" (р. р0 + т; р. Р"-т)-1--------------------
С другой стороны, при (0 оо
rf (р, Ро + Р, Ро - -> 1.
Дейтвительно, при |ро| оо мы имеем, как известно,
мс (Р. Ро) . 0 I Ро I
Соотношение (I. 196) составляет содержание теоремы об асимптотическом
расцеплении (В. Л. Бонч-Бруевич, 1965): вычисляя вещественную часть
тензора электропроводности при достаточно большой частоте, можно заменить
вершинную часть единицей в формуле (I. 1) *). Нас здесь, однако, будет
интересовать случай <в-*-0.
С помощью соотношений (1.5) и (1.6) равенство (1.19а) можно переписать в
виде
lim Г<°> Гр, р0 + р, р0 - -|Л = - 2/6 (р0 - F0) Im G (p, F0)+ ..
(0-^0 ^ z '
(1.21)
где многоточием обозначена регулярная часть, не имеющая б-образных
сингулярностей.
Выражение (I. 18) или, при w->-0, (1.21) надо подставить в правую часть
(1.8). Выражение в фигурных скобках, фигурирующее в формуле (1.8), можно
переписать в виде
^>2/" _ ,. /о\ <5 Г °с (P, Ра + ш/2) 1
Gc (P, Ро - [одр, р0 - со/2) J • 22>
При со-*-0 выражение (1.22) оказывается отличным от нуля лишь в силу
различия знаков мнимой части G(p, р0) при ро > Во и ро <. F0
(именно это
обстоятельство и обеспечивает четность как функции ш).
Соответствую-
щее предельное значение равно
а1 (Р. Ро) ехР [2' arS °г (Р- Ро)]- (г- 22')
причем должно выполняться условие
ро - И/2 < F0 < ро + m/2. (I. 23)
*) Следует, однако, иметь в виду, что понятие "достаточно большая
частота" каждый раз нуждается в специальном определении. Кроме того,
следует убедиться, что, пользуясь соотношением (I. 196), можно сохранять
для функций Gc в (1.1) их выражения, полученные с учетом взаимодействия.
(I. 18) (I. 19а)
(I. 196)
(I. 20)
ПРИЛОЖЕНИЯ
349
(Мы ограничиваемся для определенности случаем ш > 0.) Очевидно, конечный
вклад в правую часть (1.8) обеспечивается при этом лишь за счет
сингулярной части в (1.21). То же относится и к (1.14) при q0,t =0. Таким
образом, в выражении для вещественной части сг,-/ (0) под знаком
интеграла по р непременно присутствует множитель ImA4,(p, Fo).
Непосредственно применяя формулы (1.8) и (1.21) к случаю дискретного
спектра, мы получаем неопределенность, так как функция \mQ,(p,F0) имеет
б-образные особенности. По этой причине здесь удобнее вычислять тензор
электропроводности при конечной (хотя и малой частоте, переходя затем к
пределу w -*¦ 0. Это сделано в § IV. И; результат, как и следовало
ожидать, оказался равным нулю.
С другой стороны, в случае непрерывного спектра правая часть (1.8)
оказывается, вообще говоря, отличной от нуля, коль скоро
Im Gr (р, Fo) ф 0 (1.24)
хотя бы при одном значении р. Действительно, в силу непрерывности функция
Im Or(р, Fo) при этом отлична от нуля и в некоторой конечной области р-
про-странства, что и приводит к конечному значению статической
электропроводности. В силу (1. 6.5") при этом отлична от нуля и плотность
состояний па уровне Ферми р(?0). Наоборот, если р(?о) = 0, то в силу
(1.6.156) условие (I. 24) не выполняется ни при каком значении р, и
статическая электропроводность тождественно обращается в нуль. Тем самым
первая теорема о корреляции доказана.
Подчеркнем, что речь идет здесь именно о корреляции между величинами Re
Он (0) и р(?о), но отнюдь не о непосредственном выражении одной из этих
величин через другую: выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле
(1.8), гораздо сложнее, чем в (1.6.5'). Отметим также, что при
