Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
дифференциальное сечение рассеяния в виде *)
d2a
dQ dcoc
YA-Y
V nh°2 )
I Pvcp'cv I'
о /X
_ V ' tni, / llln
СТОКС \ U / U
X Z 6 (со* - cos - coq) (1 + Nq) | h (at, COi - cos; q) |2. (3.11)
q
Здесь
й (со,, co; q)= ^ dC pt(C)h((r)i, со; q; С) (3.12)
есть усредненная no случайной величине С функция (3.10), а Nq есть
фононное число заполнения:
Na =---------ттгАтч-г- (3-13)
4 ехр (ftcoq//) - 1 4 '
При выводе формулы (3.11) мы, как и раньше, принимали во внимание только
стоксову компоненту рассеянного света, для которой cos = со, - coq.
Соответствующее выражение для антистоксовой компоненты получается с
помощью одновременной замены C0q -> - CDq ПОД знаком 6-функции И Nq + I
Nq в (3.11).
Рассмотрим теперь более подробно материал, в котором имеют место
флуктуации ширины запрещенной зоны, т. е. слу-
*) Для краткости здесь опущен несущественный численный множитель.
§ 3*. ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЕ 1С > |0
339
чайное поле зависит от зонного индекса (случай Б), § V. 2). Здесь для
вычисления функций Грина, фигурирующих в формуле (3.10), достаточно
ограничиться классическим приближением*). Как мы сейчас увидим,
усреднение по величине С в (3.12) сводится тогда, как и следовало
ожидать, к усреднению по случайной части ширины запрещенной зоны, а
функция pi(C) есть функция распределения соответствующих флуктуации.
Причинные функции Грина, входящие в правую часть
(3.10), легко выразить через запаздывающие и опережающие. Действительно,
из определения эгих функций [14] следует, что в случае полностью
заполненной валентной зоны и совершенно пустой зоны проводимости мы имеем
G°(x, х'; со) = Ga (х, х'; со) (3.14)
и
G° (х, х'; со) = Gcr (х, х'; со). (3.15)
Здесь Ga (х, х'; со) и G, (х, х'; со) суть фурье-образы по времени от
опережающей и запаздывающей одноэлектронных антикоммутаторных функций
Грина валентной зоны и зоны проводимости соответственно. Функция Gcr (х,
х'; со) для гладкого случайного поля вычислена в приложении XII,
выражение для Gva получается из С? стандартным путем. Таким образом, в
классическом приближении по случайному полю мы имеем
Gr(x, х'; со) =
оо
= -у^уут ^ ds ^ dk ехр {is [йсо+ - Ес (k) - Uc (R)] /к (х - х')} (3.16)
о
и
Ga (х, х'; со) =
о
= - ^ ds ^ dk ехр {is [На~ - Ev (к) - Uv (R)] + гк (х - х')},
- ОО
(3.17)
где со± = ш ± ie и
R =(х + х'). (3.18)
Теперь легко получить и интегральные представления для причинных функций,
фигурирующих в формуле (3.10). При этом
*) Обобщение на случай одинакового искривления зон (случай А, § V. 2),
когда необходим учет квантовых поправок, дается в конце этого параграфа.
340 ГЛ. VI. РЕЗОНАНСНОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ С ПЕТА
выражение для Л(сог, со; q;C) можно упростить, заметив, что ква-
зиклассическое случайное поле U{ R) медленно меняется на характерной
длине | х - х21 ~ | х2 - xi | ~ | Xi - х | ~ X, где X - длина волны де
Бройля для электрона. Таким образом, с принятой степенью точности
аргументы случайного поля в выражении (3.10) можно считать совпадающими.
Вычисляя интегралы по разностям координат, мы получаем
h (сог, со; q; С) = (1/, - Vv) ± $ dR е^А (со*, со; R; С),
(3.19)
где
А (соI, со; R; С) -
= ... ! ! (3 20)
J (2я)3 Йи(+ - Ecv (k) - Д (R) ЙСО+ - йсо - Ecv (k) - A (R)
Здесь через A(R) обозначена случайная часть ширины запрещенной зоны:
A (R) = Uс (R) - Uv (R), (3.21)
?e0(k) = ?c(k)-?0(k). (3-22)
При A(R) = 0 функция (3.20) сводится к амплитуде однофо-нонного
резонансного комбинационного рассеяния в кристаллическом материале.
Видно, что в данном случае случайную величину С следует
отождествить со случайной частью ширины
запрещенной зоны (3.21):
С (R) =з A (R), (3.23)
а функция pi(C) сводится к функции распределения флуктуаций ширины
запрещенной зоны р\{Е):
M?) = (M?-A(R))>. (3.24)
Так как координатная зависимость функции А (со/, со; R; С) обусловлена
именно величиной A(R), мы можем положить
А (сог, со; R; A (R)) = А (сог, со; A (R)). (3.25)
Заметим теперь, что усредненная с функцией р\{Е) функция Л (сог, со; Е)
уже не зависит от координат. Таким образом, формулы (3.12) и (3.19) дают
h (сог, со0; q) = -^|y4-(yc -Уо)бд,0Л(и(, со0), (3.26)
где
А (сог, со0) = ^ dE pi (Е) А (со,-, со0; Е). (3.27)
I 3". ВЛИЯНИЕ ГЛАДКОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЕ lc "
841
Символ Кронекера 6q> 0, появившийся в правой части (3.26) в результате
усреднения и интегрирования по координатам в формуле (3.19), вырезает из
входящей в сечение рассеяния (3.11) суммы по q член с q = 0. Иначе
говоря, получается дискретная линия рассеянного света cos = со;- соо, где
соо - частота оптического фонона с волновым вектором q = 0. В
соответствии с этим мы положили со = со о во вторых аргументах функций Я
и Я в формулах (3.26) и (3.27)*). Зависимость интенсивности этой
дискретной линии от частоты падающего света, описываемая функцией | А
(со,, со0) |2 в (3.11) и (3.26), видоизменяется случайным полем. В
частности, в выражении (3.27) для |A (at, со0) |2 содержится эффект
ослабления резонанса за счет случайного поля, действующего на электроны.
