Электронная теория неупорядоченных полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
описанными около открытых узлов, vc = fp^K' Из табл. IV видно, что в
двумерном случае vc - 0,45 ± 0,02, а в трехмерном случае vc = 0,15 ±
0,01.
Приближенная инвариантность величин vc и vc имеет место лишь для решеток
одной размерности и при условии, что каждый узел связан лишь с г
ближайшими соседями. При введении связей с более далекими соседями
значения vc и vc, вообще говоря, меняются. Например, при введении связей
с соседями второй координационной сферы значение vc возрастает для
простой квадратной решетки от 0,466 до 0,548, а для простой кубической
решетки - от 0,160 до 0,192 [52]. В общем случае значения vc и vc
оказываются зависящими от отношения радиуса n-й координационной сферы,
внутри которой все узлы могут быть связаны с данным, к постоянной
решетки*). Экстраполяция к случаю больших п дает значение vc, близкое к
4,5 в двумерном случае и к 2,7 в трехмерном случае (Н. Ф. Далтон, К.
Домб, М. Ф. Сайкс, 1964).
*) При этом, разумеется, радиус п-й координационной сферы должен
оставаться намного меньшим линейных размеров системы.
ПРИЛОЖЕНИЯ
369
Было отмечено также существование эмпирического соотношения
v* " 20,
справедливого для d = 2 и d = 3. Заметим, что экстраполированные к п-*-
оо значения среднего числа связей на узел в пороговой точке близки к
соответствующим величинам, полученным в задаче с хаотически
расположенными в пространстве центрами (см. § IV. 9).
XII*. Квазиклассический расчет функции Грина для электрона в гладком
гауссовом случайном поле
Настоящее приложение содержит квазиклассический расчет одночастичной
запаздывающей функции Грина электрона Gr(x, х7; t - t') в гладком
гауссовом случайном поле. Обозначим через Ui(x) гладкую случайную
потенциальную энергию, отвечающую носителю заряда в l-й энергетической
зоне полупроводника. Основные параметры, характеризующие статистические
свойства случайного поля, суть ф1( - средний квадрат, Ui - и средний
квадрат напряженности соответствующего электрического поля 2ф2/:
^2/ = J ((7 Ulf)- (XII- О
Здесь угловые скобки обозначают операцию усреднения (см. § II. 7).
Тогда основное условие гладкости гауссова случайного поля имеет вид (И.
8.2):
(хп,2)
Считая это условие выполненным для интересующей нас зоны с законом
дисперсии Ei(р), запишем уравнение движения для G,(x, х'; t - t')\
/А Жг(х,х'у-П _ ^ (р) + и (x)j ^ (Xi х/. t_n=s
= - Й6 (/-/7) 6 (х - х7). (XII. 3)
Переходя к фурье-образу Gr(x, х7; со) по формуле
ОО
Gr (х, х'; jj dae-ia (/~nGr (x, x7; со), (XII. 4)
- OO
получим из уравнения (XII. 3))
[йсо - Et (- ih Vx) - U (x)] Gr (x, x'; со) = - -¦ б (x - x'). (XII. 5)
Составляя уравнение движения относительно переменной х', получаем
аналогично
[Йю - Et {-ih Vx,) - и (х7)] Gr (х, X7; со) = - - б (х - х7). (XII. 6)
В уравнениях (XII. 5) и (XII. 6) удобно перейти к новым
переменным:
r = x-x7, R=I(x-(-x7). (XII. 7)
370
ПРИЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим случай простых квадратичных законов дисперсии:
Ес(р)=рг/2тс, (XII. 8)
Ev(p) = -Eg-p42mv. (XII. 9)
Составляя полусумму и разность уравнений (XII. 5) и (XII. 6), имеем в
новых переменных (XII. 7)
{йсо - [?, (0) + Г{{> + 7f > + V (R, г)]} Gr (R, г; о) = - (Й/2п) б (г)
(XII. 10)
И
| ± (VT VR) - и (R + r/2) + и (R - r/2) | Gr (R, г; со) = 0. (XII. 11)
Здесь
гр-*!<ХП12>
И
V (R, г) = ~ [U (R + r/2) + U (R - г/2)],
где верхний (нижний) знак отвечает случаю I = с (/=о). Уравнение (XII.
10) решается с дополнительным условием (XII. 11). В дальнейшем мы будем
решать уравнение (XII. 10) для случая I = с, опуская индекс с для
краткости. Решение для l - v получается заменой mc-*--mv и при учете
того, что ?"(0) = -Es.
Уравнение (XII. 10) решается методом, аналогичным "методу пятого
параметра" в квантовой электродинамике [62, 63]. Замечая, что функция
Gr(R, г; а) аналитична в верхней полуплоскости комплексной переменной со,
представим ее в виде
ей f 1_ 2л J
где оператор L есть
Gr (R, г; со) = -ЕЕ- ^ ds etsf,a~esL6 (г), (XII. 13)
о
L = ехр {- is (TR +Tr+V (R, г))}. (XII. 14)
В силу плавности изменения гладкого поля в пространстве при реализации
оператора L можно использовать квазиклассическое приближение. При этом мы
будем оставлять квантовые поправки по случайному полю до порядка й2
включительно.
Реализация оператора L выполняется следующим образом. Выделим из
оператора L сперва оператор ехр (- isTg), определив новый
оператор Si со-
отношением
L = S, ехр (- isTR). (XII. 15)
Дифференцируя равенство (XII. 15) по s, получим дифференциальное
уравнение для Si:
Мрйложепйя 37j
Пользуясь известной формулой операторной алгебры
еАВе~А = В + {АВ]- + 1[1А [ЛВ]-]- +-1 [Л [Л [ЛВ]-|-|-+ ....
найдем, оставив члены до порядка Й2 включительно:
. dSt 1 ds
= S, { Tr + V (R, r) + IS ~V\V (R. r) + /*-?- (VR V (R, r), VR)
}. (XII. 17)
Уравнение (XII. 17) содержит дифференциальный оператор по R
только пер-
вой степени. Выделим теперь этот оператор, положив
S^S2e*p{^(VRV'V*)}- <ХП-18)
Дифференцируя (XII. 18) по s, получаем уравнение для оператора Si.
