Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и учитывая, что
По (I — /о) — nifo — О»
находим
= gn — o.aNt(1 - /о) бп - anNt (n0+ nx + 6n) 6/.
Исключая отсюда 6/ с помощью уравнения квазинейтральности
6n + jV,6/=0,
получаем
dfin
¦-gn — an 0v? + no + «i+6n) 6n.
dt
Здесь через №t = Nt (1 — /0) обозначена равновесная концентрация пустых ловушек. Отсюда видно, что мгновенное время жизни электронов (ср. § VI 1.2) равио
п ап (Nt +п0 + п1 + 6л) ' ^ ^
Оно само зависит от бп и изменяется в процессе релаксации концентрации электронов. Однако если неравновесная концентрация электронов не слишком велика, так что
бп ^ Nt + п0 + nlt
то Ьп изменяется по экспоненциальному закону, рассмотренному нами в § VII.2, а время жизни оказывается постоянным.
В случае генерации дырок мы получили бы аналогичное выражение:
т„ =-----—-------!--------— . (5.2)
ap (Nt + Ро + Рх + бр)
б. Биполярное возбуждение. Рассмотрим теперь более сложный случай,
когда генерируются и электроны и дырки. При этом будем считать, что g„ =gp =
= g (как, например, при возбуждении светом в собственной полосе поглощения). Выделяя по-прежнему в величинах п, р и f их равновесные части п0, р0 и /0 и неравновесные приращения Ьп, Ьр и б/, мы найдем для темпа рекомбинации электронов
Rn = anNt [n(\—f) — n1f]=anNt [(1 —/0) бп —(n0 + /ii + 6n) б/]. (5.3)
Исключая отсюда б/ с помощью уравнения квазинейтральности
бр = бп + Nt bf, (5.4)
получаем
Rn = abn + b Ьр, (5.5)
где
а = ап (Л/? + п0 + п! +бп), Ь = — ап (п0 + п! + бп).
При биполярном возбуждении темп рекомбинации электронов определяется не только избыточной концентрацией электронов бп, но еще и концентрацией избыточных дырок Ьр. Это происходит по той причине, чт<? неравновесные дырки, так же как и электроны, изменяют степень заполнения ловушек, а эта последняя влияет на темп рекомбинации.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
309
Рассуждая совершенно аналогично, мы получили бы для темпа рекомбинации дырок выражение
Здесь Nj = Луо есть равновесная концентрация заполненных ловушек.
Таким образом, для определения неравновесных концентраций бя (V) и бр (t) мы получаем систему двух связанных дифференциальных уравнений первого порядка:
Так как а, Ь, с и d зависят от бп и бр, то эта система нелинейна.
Уравнения кинетики становятся линейными, если выполняются условия
Отметим, что одно из этих условий относится к основным носителям и соблюдается довольно часто. Однако условию для неосновных носителей удовлетворить гораздо труднее, и поэтому при биполярном возбуждении кинетика рекомбинации оказывается, как правило, неэкспоненциальной.
Если неравенства (5.8) выполняются, то, исключая из системы (5.7) концентрацию бр, мы получает для бп уравнение
Для концентрации избыточных дырок получается аналогичное уравнение:
Пользуясь стандартным методом решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами, мы находим, что концентрации неравновесных носителей изменяются по закону
а постоянные В и С определяются из начальных условий. Величины Tj и т2 дают времена релаксации избыточной концентрации и являются корнями характеристического уравнения
Легко убедиться, что эти корни всегда вещественны и положительны.
Таким образом, при биполярном возбуждении, даже при выполнении неравенств (5.8) (линеаризованная задача), изменение неравновесных концентраций электронов и дырок описывается двумя экспонентами и существуют два различ-
ие
Rp = apNt [р/ —Pi(l — f)]=c8p + d8n, с = ap (ЛТ+Ро + Рх + бр),, d = —ap (p0 + Pi + 6p).
(5.6)
dbn t , с d 8p г j с
= g—a on — b op, -~— = g—cop — don.
(5.7)
6n<Jn0 + Mj, bp Po + Pi.
(5.8)
^±+(a + c)^p- + (ac-bd) 6n + g(6-c) = 0.
(5.9)
(5.10)
бп (бр) — An{p)-\-Bn <p) e ^Xl-\-Cnfple
(5.11)
Здесь
Следовательно,
Ti.a 2
1 1
-f (a + c)2 — (ac—bd).
(5.12)
310 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
ных времени релаксации тх и т2. Эти времена одинаковы для электронов и дырок. Из формулы (5.12) также видно, что времена релаксации неравновесных концентраций довольно сложным образом зависят от параметров ловушек — их коэффициентов захвата ап и ар и энергетических уровней (входящих в величины «1 и Pi).
