Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
а — -
от — у
J J W(E>, E)Nc(E')Nv(E)x
= ?„ Е~ — оо
хехр
-Ег\
kT
• ехр iy-
±\
кТ j
dE' dE. (2.4)
Формула (2.3) показывает, что темп прямой рекомбинации зона — зсна пропорционален произведению концентраций п и р, т. е. подчиняется тому же закону, что и скорость бимолекулярных химических реакций. Коэффициент а, по определению, есть коэффициент рекомбинации. Из формулы (2.4) видно, что он зависит
ТЕМП РЕКОМБИНАЦИИ ЗОНА - ЗОНА
297
от вероятности элементарного акта рекомбинации W (Е’, Е) и распределения квантовых состояний в зонах Nc (?') и Nv (Е), т. е. от структуры энергетических зон. Кроме того, он зависит от температуры.
В гл. VII мы определили суммарный темп рекомбинации как разность
R = r-gT = anp-gT,
где gT есть темп тепловой генерации электронов и дырок в условиях равновесия. Так как в равновесии (при п — п0 и р = р0) R = 0, то
gT = an0p0 = anl (2.5)
Поэтому мы получаем окончательно
R = a (tip — п0р0). (2.6)
Именно эта величина должна входить во введенные ранее уравнения непрерывности.
Вероятность элементарного акта рекомбинации часто выражают при помощи эффективного сечения рекомбинации. При этом, по аналогии с кинетической теорией газов,
каждый акт рекомбинации электро- _=___________________а
на с дыркой чисто формально уподоб- t'W\----------------"---------А
ляют акту соударения электрона и i р ) 11
частицы с некоторым сечением 5.
Тогда число «соударений» электронов 5
с одной дыркой за единицу времени Рис. 9.2. К определению эффек-
будет равно, очевидно, числу электро- тивного сечения рекомбинации,
нов, заключенных внутри цилиндра с
основанием 5 и длиной образующей, равной средней тепловой скорости электронов vT (рис. 9.2), т. е. Svrti. Полное число искомых элементарных актов с учетом не одной, а всех имеющихся дырок будет в р раз больше, т. е. SvTnp. Сравнивая это с выражением
(2.3), мы имеем
a — SvT, (2.7)
где 5, по определению, есть эффективное сечение рекомбинации. При этом в определении (2.7) под Vt обычно понимают скорость изолированного электрона (с массой т0).
Обратимся теперь к времени жизни. Так как при переходах зона — зона каждое появление электрона в зоне проводимости сопровождается появлением одной дырки в валентной зоне, то бя = б р. Полагая, далее, п = п0 + 8я, р — р0 + б п, мы имеем R = а (пр — п0р0) = а (р0 + п0 + бп) Ьп.
Поэтому для времени жизни неравновесных пар, по определению, мы получаем
_ бп __ _______1 ____ /п
Т—‘ R ~ и (п0 +ра-\-Ьп) ‘
298
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Таким образом, время жизни пар зависит от концентрации равновесных носителей п0, р0 и концентрации неравновесных пар Ьп. Поэтому время жизни пар не является характеристикой данного типа полупроводника, а отражает только свойства конкретного образца при определенном его состоянии. Напротив, коэффициент рекомбинации или, соответственно, сечение рекомбинации являются характеристиками данного типа полупроводника. Однако они, конечно, зависят от температуры (ср. формулу (2.4)).
Отметим, наконец, что зависимость т от п0 и р0 имеет резкий максимум. Учитывая, что равновесные концентрации п0 и р0 связаны соотношением п0р0 = п|, и приравнивая производную от выражения (2.8) по п0 (или р0) нулю, мы находим, что т достигает максимума при /2(| = р0, т. е. в собственном полупроводнике. При малом уровне возбуждения (бп <С п0 р0) этот максимум равен
§ 3. Время жизни при излучательной рекомбинации
Непосредственное вычисление коэффициента рекомбинации по формуле (2.4) трудно. Однако его величину можно найти, используя принцип детального равновесия (§ VII. 1) и связывая а с другими известными, макроскопическими, величинами.
Рассмотрим полупроводник в состоянии термодинамического равновесия. В нем имеются электроны с равновесной концентрацией п0, дырки с концентрацией р0 и равновесное (черное) излучение. Согласно принципу детального равновесия темп равновесной излучательной рекомбинации г должен быть равен темпу оптической генерации пар gT, обусловленной поглощением равновесных фотонов в полупроводнике. Последняя величина выражается формулой (2.5). Поэтому, вычисляя gT и зная собственную концентрацию носителей в данном полупроводнике nt, можно найти а.
v Равновесную оптическую генерацию gT можно найти следующим образом. Пусть р0 (Йсо) d (Йсо) есть концентрация равновесных фотонов, энергия которых лежит в интервале [Йсо, йсо + + d (Йсо)]. Величина р0 (Йсо) выражается формулой Планка:
ч С02rt3 1 /о 14
Ро( егш/кт_х - (ЗЛ)
