Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Или, иначе,
= (4.3а)
где символ (...) обозначает усреднение по всем состояниям в зоне, проводимости.
Так же, как и в § 2, вместо коэффициента захвата ап мы могли
бы ввести понятие об эффективном сечении захвата электронов
на ловушки Sn. Оно, по определению, связано с ап соотношением
ап = ^т. (4.4)
Обратимся теперь к процессам 2 (рис. 9.6) — тепловой эмиссии электронов с ловушек в зону. Очевидно, что темп таких переходов gnT пропорционален концентрации ловушек, заполненных электронами, Ntf (Et). Поэтому можно положить
gnT = Wtf(Et), (4.5)
где рп есть некоторый коэффициент, зависящий от природы ловушек и температуры.
306 СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Коэффициент реэмиссии р„ просто связан с коэффициентом захвата ап. Эту связь можно найти с помощью принципа детального равновесия. Действительно, в состоянии термодинамического равновесия должно быть rn = gnT. Это дает
ая^(1-/о)Ло = Р»^/о, (4-6)
где /0 — равновесная вероятность заполнения ловушек электронами. Последнюю для наших целей удобно выразить не обычной функцией Ферми, а по формуле (V.9.4) записать в виде
f — "о 0 п0 + п1
Здесь пх зависит от энергии ионизации ловушки Ес — Et и температуры и выражается формулой (V.9.5). После этого соотношение (4.6) дает
Р« = ап «0 = аппх.
Следовательно, коэффициент реэмиссии вполне определяется через коэффициент захвата, глубину залегания энергетического уровня ловушек и, естественно, зависит еще от температуры. Подставляя найденное выражение для |3П в формулу (4.5), получаем
gnT = *Jh-Ntf.
Суммарный темп захвата электронов на ловушки равен
Rn = гп — gnT = anNt[n (I - f) - nj], (4.7)
РаСсуждения для дырок совершенно аналогичны. Отличие заключается в том, что темп захвата дырок из валентной зоны пропорционален концентрации ловушек, заполненных электронами (т. е. свободных от дырок), Nrf. Поэтому вместо выражения (4.2) мы будем иметь
rp = UpNtfp,
где Яр — коэффициент захвата для дырок. Соответственно темп тепловой реэмиссии дырок с ловушек будет
gpT = $pN,(\ -/).
Приравнивая опять гр и gpT в случае равновесия, мы получим связь между $р и ар в виде
Рр = арРи
где рг выражается формулой (V.9.13). Поэтому для суммарного темпа захвата дырок из валентной зоны на ловушки получаем
RP = rP- gpT = apNt [pf-pi(l- /)]. (4.7a)
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
307
Именно эти величины, Rn и Rp, мы должны подставлять в уравнения непрерывности (VI 1.3.3) для учета рекомбинации. Если изменения концентраций вследствие движения частиц малы, то эти уравнения принимают вид
%-=gn — Rn = gn — anNt [П (1 - f) - nj], (4.8)
= gp-Rp = gp~ [Pf - Рг (1 - /)]. (4.9)
Здесь gn и gp — темпы внешней генерации электронов и, соответственно, дырок.
Так как при рекомбинации через ловушки каждый исчезающий свободный электрон оседает на ловушку (то же относится и к дыркам), то изменение концентрации заполненных ловушек Ntf определяется уравнением
Nt§ = Rn-Rp + (gP-gn). (4.10)
Кроме того, мы имеем еще уравнение квазинейтральности • (ср. § VII.3)
p-p„ = n-n0 + Nt(f-f0). (4.11)
Уравнения (4.8) — (4.11) вполне определяют кинетику измене-
ния концентрации неравновесных электронов и дырок вследствие рекомбинации.
Отметим, что одно из четырех указанных уравнений может быть получено как следствие из других. Так, например, дифференцируя уравнение квазинейтральности (4.11), мы имеем
dp _ dn_ , дг df_
dt dt '' * at ’
Подставляя сюда для каждого из слагаемых их выражения (4.8) —
(4.10), мы получаем тождество. Остающиеся же три независимых уравнения определяют три искомые величины п (t), р (t) и f (t).
Так как уравнения (4.8) и (4.9) нелинейны, то в общем случае закон изменения концентраций п и р не выражается экспонентой. Однако в специальных случаях существуют постоянные характерные времена процесса. Ниже приведены некоторые примеры.
§ 5. Нестационарные процессы
а. Монополярное возбуждение. Положим, что в полупроводнике генерируются неравновесные носители только одного знака, скажем только электроны (это имеет место, например, при примесном возбуждении фотопроводимости). Тогда мы имеем только одно дифференциальное уравнение (4.8). Полагая в нем
п = п0-\-8п, /—
308
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
