Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где п — показатель преломления среды.
Обозначим, далее, через Р (йсо) вероятность поглощения одного фотона с энергией Йсо в единицу времени, а через v (Йсо) — квантовый выход внутреннего фотоэффекта (число возникающих электронно-дырочных пар при поглощении одного фотона, § VII.4).
§ 3] БРЕМЯ ЖИЗНИ ПРИ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ 299
Тогда, очевидно,
ОО
gr= ^ Ро (Йсо) Р (Йю) v (Йсо) d (На). (3.2)
о
Вероятность Р (Йсо) можно выразить через коэффициент поглощения света и показатель преломления. -Действительно, описывая поглощение света как уменьшение концентрации фотонов, р (Йсо), мы можем написать
do
-?=-w>
где, по определению, у есть коэффициент поглощения света. Здесь вместо координаты х можно ввести время распространения пакета t, так как
, d x = vt = —
я
Поэтому можно также написать
— _ II
dt п (
Отметим, что здесь под v мы должны были бы подразумевать групповую скорость пакета фотонов. Однако мы приближенно заменили ее фазовой скоростью dti по причине, которая будет указана ниже. С другой стороны, по определению вероятности Р (Йсо) мы имеем
•|2- = — P(hu>) р.
. Сравнивая оба соотношения, находим
Р (Йсо) = у (Йсо) (3.3)
Для фактических расчетов удобно ввести безразмерную энергию фотонов
йм
U~W'
Тогда, подставляя в формулу (3.2) р0 и Р по формулам (3.1) и (3.3) и переходя к переменной и, получаем
00
_ (kT)3 Г п2у (и) у («) и2 da п «
^т я?С“Ш j еи—1 ' ( • )
о
Эта формула позволяет по известным из эксперимента спектральным зависимостям коэффициента поглощения у (со), квантового выхода v (со) и значению показателя преломления п найти gT и, следовательно, коэффициент излучательной рекомбинации а. Так как
300
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
зависимости у (со) и v (со) обычно задаются в виде кривых, то такие расчеты требуют численных методов.
В предыдущих рассуждениях мы считали показатель преломления постоянным. При учете дисперсии п (со), во-первых, изменилось бы выражение (3.3) для Р (Йсо) и, во-вторых, вместо формулы (3.1) мы имели бы более сложное выражение для Ро (Йсо). Однако, как показывает расчет [3], входящие при этом дополнительные множители в окончательном результате взаимно сокращаются и мы опять получили бы ту же формулу (3.4), где .теперь только нужно было бы считать п = п (и), ^чет дисперсии света вносит? малую поправку, так как п изменяется с частотой очень мало по сравнению с сильной зависимостью коэффициента поглощения.
Отметим еще, что в значения интеграла (3.4) основной вклад вносят фотоны с энергией йсо — Eg, так как при меньших энергиях коэффициент поглощения очень мал, а при больших энергиях фотонов экспонента в знаменателе становится очень большой. Поэтому для вычисления gr нужно знать оптические постоянные полупроводника только в некотором спектральном интервале, в области края собственного поглощения.
На рис. 9.3 приведен пример такого расчета для германия при Т — 300 К. На нем, во-первых, показана спектральная зависимость концентрации равновесных фотонов р0, вычисленная по формуле' (3.1). Так как в области края собственного поглощения ехр и 1, то эта зависимость близка к экспоненциальной. Далее, приведены коэффициент поглощения у' (в см"1) и произведение p„Y. Так как для германия в области края собственного поглощения 1, то это произведение пропорционально темпу равновесной генерации (и равному ему темпу рекомбинации) для фотонов с энергией и, т. е. dgr/du. На последней кривой ясно выражены два максимума. Первый из них (Но) ~ 0,65 эВ) соответствует переходам электронов из основного минимума в зоне проводимости («непрямые», или «косые», переходы), а второй — переходам из центрального-минимума («прямые», или «вертикальные», переходы, ср. § XVIII.5). Полный темп генерации (рекомбинации) пропорционален площади под кривой р0у.
Рис. 9.3. К расчету коэффициента излучательной рекомбинации. Равновесная концентрация фотонов р0, коэффициент оптического поглощения у и произведение poY для германия при 300 К [2].
ВРЕМЯ ЖИЗНИ ПРИ ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ РЕКОМБИНАЦИИ
301
С учетом постоянных множителей, входящих в формулу (3.4), это дает при 300 К
gT = 2,8- 1013 см-3с-1.
