Физика полупроводников - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При переходе электрона из зоны проводимости в валентную зону всегда должны выполняться законы сохранения энергии и квазиимпульса. Поэтому если Е' и к' — энергия и квазиволновой вектор электрона в начальном состоянии в зоне проводимости, а Е и к — их значения в конечном состоянии в валентной зоне, то должны выполняться соотношения
Здесь АЕ и Ар — энергия, освобождаемая в элементарном акте рекомбинации и, соответственно, изменение квазиимпульса электрона при переходе. Поскольку квазиимпульсы в начальном и конечном состояниях системы должны лежать в пределах первой зоны Бриллюэна (§ III.3), правая часть уравнения (1.2) может содержать еще слагаемое НЪ, которое мы не выписываем. Прямая рекомбина-
?'(k') = ?(k) + A?, Лк' = Йк + Др.
(1.1)
(1.2)
ТЕМП РЕКОМБИНАЦИИ ЗОНА — ЗОНА
295
ция электрона и дырки возможна только в тех случаях, когда от электрона может быть отведена освобождающаяся энергия АЕ и обеспечено изменение квазиимпульса Ар, определяемые законами сохранения (1.1) и (1.2).
Процессы, обеспечивающие выполнение законов сохранения, могут быть различны. Это может быть испускание кванта электромагнитного излучения — фотона определенной частоты со, тогда *)
А? = Йсо, | Ар | —.~г. (1.3)
В этом случае мы говорим об излучательной рекомбинации. Избыточные энергия и квазиимпульс могут быть переданы колебаниям решетки, или фононам. Известны и процессы, при которых энергия и квазиимпульс, освобождаемые при рекомбинации, передаются третьей свободной частице — электрону (в электронных полупроводниках) или дырке (в дырочных полупроводниках). Процессы такого типа получили название ударной рекомбинации (или Оже-рекомбинации). Очевидно, что вероятность таких процессов возрастает при увеличении концентрации носителей заряда, и поэтому ударная рекомбинация проявляется обычно в сильно легированных полупроводниках. Принципиально возможны и другие типы элементарных актов рекомбинации (см. § XVII.9). В случаях, когда фотоны не участвуют в обмене энергией и квазиимпульсом, говорят о безы лучательной рекомбинации.
Вероятность различных типов элементарных актов зависит от энергетической структуры кристалла, а также от концентрации электронов и дырок. При этом процессы разного типа могут сосуществовать.
В настоящей главе мы будем рассматривать только статистику рекомбинации и получим соотношения, справедливые при любом механизме рекомбинации. Конкретная природа рекомбинационных процессов будет определять лишь значения фигурирующих в дальнейшем вероятностей электронных переходов (эффективных сечений рекомбинации).
§ 2. Темп рекомбинации зона — зона
Рассмотрим группу состояний 1 (рис. 9.1) в зоне проводимости с энергией в интервале (?', Е' + dE’) и группу состояний 2 в валентной зоне с энергией (Е,- Е + dE). Число переходов 1 -> 2, рассчитанное на единицу времени и единицу объема, должно быть пропорционально количеству электронов в состояниях 1, т. е.
*) Строго говоря, второе из соотношений (1.3) нуждается в дополнительном доказаюльстве, ибо Йсо/с есть импульс, а не квазиимпульс фотона (см. гл. XVIII).
2%
СТАТИСТИКА РЕКОМБИНАЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК [ГЛ. IX
Nc (Е') dE' f (?'), и количеству незаполненных состояний в группе 2, которое есть Nv (Е) dEfp (Е). Поэтому число таких переходов
в единице объема и в единицу времени можно записать в виде
dr — W (?', E)Nc(E')x
xNv{E)f(E')fp(E)dE'dE. (2.1)
Здесь W (E', Е) — вероятность перехода, отнесенная к единице времени. В принципе ее можно вычислить методами квантовой механики (см. § XVIII.4). Чтобы найти полный темп рекомбинации, нужно просуммировать выражение (2.1) по всем энергиям Е' и Е.
Темп рекомбинации выражается особенно просто при выполнении двух условий: 1) существуют квазиуровни Ферми для электронов и дырок Fn и Fp и 2) полупроводник не вырожден. В этом случае (§ VI 1.5)
Fn — E' f(E') = ехр kf
Рис. 9.1. Электронные переходы между двумя группами состояний.
fp (Е) = ехр -
E-Fp
kT
Fn-Fn
пр = пдр0 ехр —w-
где п и р — полные концентрации электронов и, соответственно, дырок, а л0 и р0 — их равновесные значения. Пользуясь еще соотношением (V.5.4), мы получаем
/ (E')fp (Е) = ехр ¦
Е — Е'
kT
-•ехр
kT
пр Е—Е'
ехр-------
пр
ПоРо
kT
NrN,
¦ехр -
Е'-Ес
kT
ехр
Результат подстановки этого выражения в формулу (2.1) и последующего интегрирования по Е' и Е будет, очевидно, иметь вид
(2.3)
г — апр,
где
