Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
размываются (рис. 9); ширина областей размытия, как и ширина размытия обычной фермиевской ступеньки, порядка Т.
Полную концентрацию электронов можно найти с помощью функции (19.6):
= {ехр[-р(?т+ - F)] + ехр[- и (Emt - F)] +
Соотношение (19.7) определяет электрохимический потенциал в системе как функцию концентрации и температуры. Пусть энергия не зависит от спина: Ет^ = Ет^=Ет. Тогда F0 — значение F при Т = 0 — находится из выражения
+ 2exp[-P(?m| + ?m^-2F+F)]}. (19.7)
Fa-V
п
= 2 $ р (E)dE+ $ р (E)dE,
(19.8)
о
Fa-V
а сдвиг электрохимического потенциала с температурой
148
ГЛ. ГГ. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
определяется из соотношения
F-V F
п = 2 ^ p(E)dE-\- ^ p(E)dE —
О F-V
= \ dEm р (Ет) +
J zm
F
+ t iQbll
J
i7- И
+ 2 ( (?J exp [ P-(?,g-Л] + exp [ p (2?m-2?+?Я ^
J 2/n
F
Отсюда при низких температурах получаем (Т. А. Каплан, С. Д. Маханти, В. М. Хартман, 1971)
2 ШГТ№^Р (1910)
Здесь и в дальнейшем мы не делаем специальных предположений о значении p(F0).
Видим, что в данном случае уровень электрохимического потенциала линейно зависит от температуры — в отличие от того, что мы имеем в отсутствие корреляции и в газе делокализован-ных электронов.
Электронный вклад в теплоемкость также легко вычисляется. Мы получаем
cv = ±r[r^f\ (19.11)
или, с учетом (19.4) и (19.5),
д (Т2 dzm \ r ( dzrn Y
ЕдТ У. дТ ) \ дТ )
------- ~
г2
Ш
= \ dE р (Е) z~2 (?)[^г (т2^-) - Т2 (^Д)2],
О
где zm = z(Em). Отсюда получаем (полагая Е — F = Тх)
. г С , (г . г л2х2е-х+(2х+т2е-{2х+т+2(х+ше~(ъх+т_. со—Т ) dxp(F+Tx)-----------[1 + 2е-^ + в-(2^+'рй)]2-»
«2r[p(F) + p(F-V)]fl, (19.12)
§ 19. ТЕРМОДИНАМИКА В СЛУЧАЕ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ УРОВНЕЙ 149
где постоянная В есть
оо
d f j х2е~х я2 + 31п22 , п /1 л 1 о\
в= П*(| + г,-)* =--------------5----<1913>
— ОО
Таким образом, электронный вклад в теплоемкость — того же порядка, что и соответствующий вклад зонных электронов в металле (при той же плотности состояний), и также линейно меняется с температурой. Такая же зависимость характеризует, однако, и вклад в теплоемкость, связанный с особенностями спектра низкоэнергетических колебаний атомной матрицы неупорядоченной системы (см. § 4). Последний вклад, по-видимому, преобладает, коль скоро плотность локализованных электронных состояний в окрестности уровня Ферми не слишком велика (меньше ~ 1020 -f- 1021 см~3 эВ-1)-При наличии внешнего магнитного поля напряженности Ш состояния с противоположными спинами расщепляются:
Ет^ == Ет 2 V-ъЯб,
(19.14) — 1+2 ехр (~х) -г exp ( -2x — Р V j *
При этом термодинамические функции зависят от 36.
Рассчитаем спиновую магнитную восприимчивость системы в слабых магнитных полях. Свободная энергия 3F системы, отнесенная к одной частице, есть
?F = F — Т\п Z.
Отсюда для магнитной восприимчивости находим
d2zm С dzm у
_ / дТ2 \ I . ту m дМ2 \Jm~)
х \дж2).\ ^ ~2
Ф/х) 1
/ \ 2
\ „
-V/T С 2
Рис. 10. Функция Ф(*) =
ехр(-х)
— \dxp{Tx)---------^------=—*«¦. (19.15)
2T J ' 1 + 2e~x + e~2x~&v
Функция Ф(х), на которую множится плотность состояний в подынтегральном выражении, имеет вид, изображенный на рис. 10. Вклад от «полочки», простирающейся от F—V до F,
150 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
равен
47
р Р
5 dx р (F + хТ),
(F-V)
и всю восприимчивость можно представить в виде (И. П. Звягин, 1977)
РГ 2
\ dx р (хТ) + [Р (^о) + Р (^о — ^)] In 2. (19.16)
(F,-V)
__ Ив X 4Г
Первый член в правой части (19.16) описывает обычный закон Кюри, а второй член дает поправку, не зависящую от температуры. Заметим, что выражение (19.16) пропорционально числу неспаренных спинов, определяющему сигнал ЭПР.
Происхождение закона Кюри здесь не вполне тривиально, ибо спектр локализованных состояний — всюду плотный. Это
есть следствие динамической корреляции между электронами, локализованными вблизи одного и того же центра. В отсутствие такой корреляции (§ 18) (равно как и в случае обычного зонного парамагнетизма) вклад, соответствующий закону Кюри, отсутствует. Действительно, тогда уровни дважды вырождены по спину и число неспаренных спинов пропорционально ширине размытия фермиевской ступеньки, обращаясь в нуль при Т = 0. Существование «полочки», обусловленной корреляцией, означает, что число неспаренных спинов отлично от нуля при любых температурах, что и приводит к появлению слагаемого, отвечающего закону Кюри.
