Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
U(0) = e/e.
(7.13')
Er = — dq>/dr = — ar/3r3r
*) Уравнение (17.12) исследовалось (Ж. Калуччи, 1976) в связи с одной модельной задачей квантовой теории поля.
140 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Фактически появление такой сингулярности означает лишь, что мы выходим за пределы применимости как решения (17.14), так и самого разложения (17.7'). Действительно, последнее оправдано, лишь если
еф «С Е.
В противном случае надо пользоваться непосредственно выражением (17.7). Характер экранирования при этом будет зависеть от вида плотности состояний не только вблизи уровня Ферми.
§ 18*. Низкотемпературная термодинамика носителей заряда при наличии мягкой щели
а) Температурная поправка к уровню Ферми. Для вычисления поправки к уровню Ферми, возникающей при конечных температурах в условиях сильного вырождения, воспользуемся условием сохранения числа частиц. Вычисляя полную концентрацию электронов п по формуле (17.6) при Т — ОиТфОи приравнивая результаты, мы получаем
оо F о
5 р (Е) nF (Е) dE = 5 р (Е) dE. (18.1)
о о
При этом функция Ферми, фигурирующая в левой части (18.1), содержит уровень Ферми при Т Ф 0:
F{T) = Fa + 6F. (18.2)
Обозначим через N(E) полное число дискретных уровней в
единице объема с энергией ниже Е:
в
N{E)=\p{E')dE'. (18.3)
о
Тогда интеграл в левой части (18.1) преобразуется обычным способом:
оо 99
J р (Е) nF (E)dE = — ^ N (Е) ^fdE + N (Е) nF (Е)
(18.4)
В условиях (17.3) функция Ферми при Е^-оо экспоненциально мала; с другой стороны, при Е = 0 дискретных уровней уже нет. Поэтому вторым слагаемым в правой части (18.4) можно пренебречь. Интеграл с производной от функции Ферми вычисляется стандартным способом [17]. При этом, как и в § 17,
§ 17*. ТЕРМОДИНАМИКА ПРИ НАЛИЧИИ МЯГКОЙ ЩЕЛИ
141
будем пренебрегать возможной зависимостью плотности состояний от температуры.
При p'{F0) = р (F0) = 0 мы получаем
о© F
-\N(E)^rdE^\-9(E)dE + ^Ti9,"(F). (18.5)
о о
В последнем слагаемом в правой части можно заменить F на F0, а интеграл от плотности состояний можно переписать в виде
$р(?М? + ^р"(/д(6/03. (18.6)
о
Собирая формулы, получаем
хр__ 7я4 р (Fo) 'гиЧ1/3 П Ч 71
lw p"’(F0) Т ) • (18J)
По порядку величины
р"' (Fo) 1
р" №>)
(18.8)
где Е— введенная в § 16 характерная энергия, определяющая область применимости формулы (16.17). В частности, ограничиваясь формулой (16.17), мы получили бы 8F = 0.
б) Теплоемкость системы локализованных электронов. Воспользуемся термодинамическими переменными Т, F, v. Тогда теплоемкость при постоянном объеме cv, отнесенная к единице объема, дается выражением
(( dS\ (дп1дТ)1 1 °v = Т { VW)р ~ (dn/dF)T } • (18,9)
Здесь S — энтропия, отнесенная к единице объема. Выражение для n(T,F) получается из формул (18.3) —(18.5), в которых теперь величины F и Т надо рассматривать как независимые:
F
n^\p(E)dE+~Pp'"(F). (18.10)
о
Как видно из формулы (18.10), второе слагаемое в фигурных скобках в (18.9)—порядка Г4, и им следует пренебречь. Для вычисления первого слагаемого воспользуемся термодинамическим соотношением
6S \ ( дп
142 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
С учетом (18.10) это дает
и, следовательно,
(18.11)
Соотношение (18.11) есть не что иное, как дифференциальное уравнение для функции c„(F) — теплоемкости электронов, занимающих дискретные уровни в щели для подвижности (теплоемкость валентных электронов нас здесь не интересует). Граничное условие к нему имеет вид с„->- 0 при F-hi-оо. Действи-
тельно, при F < Ev дискретных уровней нет и соответствующий вклад в теплоемкость отсутствует. Интегрируя (18.11) по F от какого-либо (безразлично какого) отрицательного значения до F0, мы получаем
Видим, что при наличии мягкой щели электронная теплоемкость при низких температурах зависит от температуры не линейно, как это обычно бывает в вырожденном газе, а кубично. По этой причине ее, может быть, нелегко отличить от теплоемкости атомной матрицы.
