Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
p(?) = pd(?) + Pa(?). (17.4)
При этом в отсутствие электрического поля справедливо условие нейтральности
оо
ра (Е) Пр (Е) dE = J рЛЕ) [ 1 - пР (?)] dE. (17.5)
о о
Мы совместили здесь начало отсчета энергии с потолком валентной зоны и приняли во внимание условия (17.3). Пользуясь формулами (17.4) и (17.5), легко привести выражение для ^[ф] к виду (г Ф 0)
q = е {«о — п [ф]},
где
оо
Мф]= ^ P(^W (E)dE, n0 = п [ф] |ф_0. (17.6)
о
При Г = 0 мы имеем
fo+еф
п — По— ^ р (Е)dE =
Fo
= ефр (F0) + j (<?ф)2 р' (F0) + ~ (еф)3 р" (F0) + • • •
В случае (16.17) первые два слагаемых в правой части (17.7')
обращаются в нуль и экранирование оказывается существенно нелинейным. Фактически, однако, всякий опыт производится при конечной температуре. Соответствующая поправка к правой части (17.7) легко находится по общим правилам вычисления фермиевских интегралов в условиях сильного вырождения [17] и составляет (с точностью до экспоненциально малых членов)*) (n2/6)p"(Fo)eq>T*.
*) При вычислении следует учесть, что температурная поправка к уровню Ферми в случае (16.17) дает вклад высшего порядка малости по сравнению с сохраняемыми нами членами (см. § 18). Мы пренебрегаем также возможным изменением плотности состояний с температурой (Т С ?).
(17.7)
(17.7')
138 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
Введем обозначения
ro2 = ^TT ГР" (17-8)
Тогда уравнение (17.1) принимает вид (при г Ф 0)
У2Ф == г-2ф + аф3. (17.9)
В слабом поле, когда
(еф/лТ)2 <С 1, (17.10)
в правой части (17.9) доминирует первое слагаемое*). При
этом для потенциала остается в силе обычное дебаевское выражение; роль дебаевского радиуса, однако, играет величина г0.
Полагая ф = -^-ехр(—г/г0) и подставляя это выражение в
(17.10), получаем условие применимости линейной теории экранирования в рассматриваемой задаче:
-рг р" (F0) -^f- exp (— 2r/r0) <С 1. (17.10')
В левой части (17.10') фигурирует безразмерный параметр, который будет встречаться и в дальнейшем:
т| == -^ Р" (17.11)
В типичных условиях он невелик. Так, полагая для оценки е = 10, р"(F0)= 1022 см~3эВ-3 (это, видимо, завышенное значение), мы получаем г] = 0,1. В этом случае неравенство (17.10')
удовлетворяется уже при г = г0.
При меньших расстояниях, когда выполняется неравенство, обратное (17.10), в правой части (17.9) доминирует второе слагаемое. Полагая
ф = и (г)/г
и пренебрегая первым слагаемым в правой части (17.9), мы получаем
U" = a(U*/r3). (17.12)
При г —*• оо интересующее нас решение должно удовлетворять стандартным условиям:
?г н= — —¦ —»- + 0, U-+0. (7.13)
*) Неравенство (17.10) лишь по форме совпадает с известным условием применимости теории Дебая в задаче об экранировании невырожденным электронным газом.
§ 17*. ЭКРАНИРОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ МЯГКОЙ ЩЕЛИ
139
С другой стороны, при г = 0 мы не вправе накладывать вытекающее из (17.2) обычное для точечного источника условие
Действительно, в уравнении (17.12) точка г = 0 — особая, и мы можем требовать лишь ограниченности решения при г->0.
Решения соответствующего вида легко найти прямой подстановкой. При г-> 0 и г—* оо мы получаем, соответственно*),
Здесь г\ и г2 — постоянные; первое решение имеет смысл при г <С г\, второе — при г > г2.
Причина очень слабого убывания функции U(r) (а потому и потенциала) при г-*~оо понятна: при уменьшении потенциала нелинейное экранирование резко ослабляется.
Заметим, однако, что в применении к уравнению (17.12), взятому само по себ'е, выражение «на бесконечности» вообще лишено точного смысла. Действительно, указанное уравнение инвариантно относительно изменения масштаба длины. По этой причине невозможно, оставаясь в рамках только этого уравнения, определить, например, постоянную г2. Ее можно найти, лишь рассматривая более общее уравнение (17.9).
Заметим, далее, что в нашей задаче ситуация в области малых г, описываемая решениями (17.14), оказывается физически неудовлетворительной. Действительно, согласно первой из формул (17.14) напряженность электрического поля при г—*0 есть
Согласно (17.14) при U > 0 мы имеем гх > 0. Следовательно, знак Е, при г-> 0 оказывается противоположным тому, который должен получиться на бесконечности. Легко убедиться, что так же обстоит дело и при уточнении первой из формул (17.14) путем учета следующих членов разложения по г/г\\ в области достаточно малых г напряженность поля, будучи отрицательной, монотонно возрастает по модулю с ростом г. В то же время при г-*- оо величина Е, оказывается положительной и монотонно убывает с ростом г. Это означает, что где-то в промежуточной области значений г напряженность электрического поля, согласно уравнению (17.12), должна обратиться в бесконечность. Та же трудность возникает и при г\ < 0 (неправильным оказывается знак функции U(r) при г-*-0).
