Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Подчеркнем, что этот вывод не связан непременно с моделью рис. 4, в. Важно лишь, чтобы имело место хотя бы одно из указанных выше обстоятельств. Возникновению эффективного притяжения между электронами способствует также поляронный аффект, обсуждавшийся в § 5.
Наличие эффективного притяжения, естественно, наводит на мысль о возможности экситонной неустойчивости и связанной с ней перестройки энергетического спектра. Однако, в отличие от задачи об экситонной неустойчивости обычного типа, мы здесь имеем дело с локализованными электронами при наличии случайного поля.
Соответственно расчет содержит некоторые новые моменты.
Непрерывный спектр электронов и дырок в интересующей нйс задаче не играет роли. Поэтому мы вправе выбрать в качестве базисных одноэлектронные собственные функции задачи (1.6.§) с указанным там составом квантовых чисел: Я, =
{?л, Rx, crjt}. Будем считать функции \|^ ортогонализованными. (Обозначим через а? и а% фермиевские операторы порождения и уничтожения частиц в соответствующих состояниях. Тогда гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
я = Е+ Т Z (V %2\V\K K)atalaA- (16Л)
А, А,ц А»2
^<3» А,*
Здесь
(Лр Я2| V |Я3, Я4) =
= J dx dx'\!>*_ (х) (х') У (х - х') (х) i|^ (X7), (16.2)
а У(х — х') есть эффективная энергия взаимодействия в координатном представлении. Точный вид функции V(x — х') для дальнейшего не играет роли. Существенно лишь принять во мимдние неизбежное экранирование кулоновского потенциала. Qho может быть обусловлено как перераспределением носителей заряда в пространстве*), так и технологическими причи-
*) При этом исследование закона экранирования должно выполняться самосогласованным путем уже с учетом возможного изменения опектра за счет кулоновского взаимодействия.
5 16*. КУЛОНОВСКАЯ ЩЕЛЬ
131
нами, связанными, например, с преимущественно близким расположением разноименно заряженных примесей.
В отсутствие магнитного поля функции можно выбрать вещественными. Далее, будем считать, что радиус локализации мал по сравнению с радиусом действия потенциала У(х — х') (радиусом экранирования). Тогда при рассмотрении электронов, локализованных у разных центров, можно в первом приближении пренебречь обменными эффектами. При этом гамильтониан (16.1) принимает вид
Я = + Г)аХХ^-^е + ^ее- (16.1')
к к, к'
где
у (X, X') = V (Г, X) = J dxdx'^l (х) У (х — х') ф*, (х'). (16.3)
Если расстояние R = | R\ — Ra/| значительно превышает радиусы локализации обеих функций г|)д, и г|)д/> то правая часть (16.3) еще более упрощается. В самом деле, в указанных условиях i|^(x) п (х') при интегрировании с плавной функцией У(х — х') ведут себя соответственно, как 6(х— R*) и6(х' — Rv). Следовательно,
V(X, X')«y(Rx-Rv). (16.3')
Суммирование по X, X' в правой части (16.Г) можно ограничить условием X Ф X'. Впредь это всегда будет подразумеваться.
Гамильтониан (16.1) коммутирует с оператором tix = a?ak, а
потому и с суммой N = Yua\ak’ взятой по какой-либо обла-
к
сти изменения квантовых чисел X. Это означает, что в данном случае «одноэлектронные» квантовые числа X описывают собственные значения интегралов движения и их можно использовать для характеристики стационарных состояний многоэлектронной системы. В частности, в основном состоянии системы с гамильтонианом (16.1') состояния X делятся на два класса — вакантные (в этом случае мы будем полагать X = а) и полностью заполненные (Х = |3). В качестве N можно выбрать, например, сумму, взятую по состояниям типа р (при Т = О это есть полное число локализованных электронов). Таким образом, возбужденные состояния рассматриваемой системы многих частиц можно классифицировать по числу электронов, «переброшенных» из состояний р в состояния а. Волновую функцию состояния с п «переброшенными» электронами (п парами) можно записать в виде (В.Л. Бонч-Бруевич, 1953)
132 гл. ГГ. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
где 'Fo — волновая функция основного состояния системы, а fn — функция, подлежащая определению (она антисимметрична относительно перестановки любых двух аргументов а между собой и р между собой). Подставляя (16.4) в уравнение Шредингера с гамильтонианом (16.1'), можно получить систему не-зацепляющихся уравнений для функций Собственные значения ее определяют непосредственно энергии возбуждения ДЕп, т, е. разности между полными энергиями возбужденного и основного состояний. Для наших целей достаточно рассмотреть уравнение для функции /ь Оно имеет вид
{[?<*+!>(<*. Р')]-[?р+Х>(Р, Р')]-У(а> Р)}Ыа, Р) =
= Д?,/, (а, Р)." (16.5)
Величины
?a = Ea + ZV(a, Ю, Др = Яр + 2>(Р. Ю (16.6)
Р' Р'
имеют ясный физический смысл. Действительно, суммы по Р' здесь описывают взаимодействие электрона в состоянии а(Р) со всеми другими электронами, заполняющими состояния р'. Следовательно, Е’а и ?р суть не что иное, как «перенормированные» энергии одночастичных уровней, вычисленные с учетом межэлектронного взаимодействия. Этот эффект перенормировки учитывается и в «одноэлектронном» приближении, и мы могли бы сразу написать гамильтониан (16.1), заменив Еа, Е$ на Ета, и одновременно исключив соответствующие члены из гамильтониана взаимодействия. Именно энергии Е”а и имеют непосредственное физическое значение, и о них шла речь в § 1. В частности, они и должны удовлетворять условиям