Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
При взаимодействии типа притяжения {V = —Vo < 0) функция распределения имеет лишь одну размытую ступеньку, расположенную при Em = F+Vо/2 (рис. 11). Величина F — F0 при этом квадратично зависит от температуры:
л2 d In р (Е)
Рис. 11. Функция заполнения локальных состояний при наличии притяжения между электронами, попадающими на один и тот же центр.
F-Fa =
24
dE
E-F,+ Vol2
Т2,
(19.17)
а магнитная восприимчивость при низких температурах дается
§ T9. ТЕРМОДИНАМИКА В СЛУЧАЕ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ УРОВНЕЙ 151
выражением
г = 4^ Р (*> + Vo/2) exp (- Vo/2Т). (19.18)
Таким образом, магнитная восприимчивость в условиях спаривания экспоненциально зависит от температуры. Это связано с соответствующей температурной зависимостью числа неспаренных спинов v (определяющего и интенсивность сигнала ЭПР):
v « -J- р (F0 + Vo/2) Т exp (- V0/2T). (19.19)
Формула (19.19) для числа неспаренных спинов аналогична формуле для собственной концентрации носителей в полупроводниках, причем энергия связи пары Vo играет роль ширины запрещенной зоны. Эта аналогия не случайна. Она отражает лишь тот очевидный факт, что спаривание электронов с противоположными спинами вызывает появление щели ширины Vo в спектре элементарных возбуждений.
Подчеркнем, что эта щель обусловлена взаимодействием электронов, локализованных на одном и том же центре, — в отличие от дальнего взаимодействия, изучавшегося в §§ 15—18.
Глава 111
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ДВУХУРОВНЕВАЯ ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
§ 1. Введение
Явное вычисление плотности состояний, электропроводности, функции корреляции уровней и других равновесных и кинетических характеристик системы электронов в случайном поле U (г) неизбежно связано с использованием аппроксимаций того или иного характера. Они могут быть связаны с особенностями конкретной физической системы. Так, например, если случайное поле в ней с подавляющей вероятностью медленно изменяется в пространстве на расстояниях порядка всех характерных электронных длин, то адекватным способом описания служит квазиклассический. Изложению его посвящен обзор [35] (там же указана соответствующая литература); для удобства читателя мы приводим в Приложениях XII, XIV сводку основных результатов этого метода, касающихся расчета плотности состояний и нужных для последующего рассмотрения оптических свойств неупорядоченных полупроводников (см. ниже, §§ V. 2, V. 3).
Метод расчета и характер используемых в нем приближений может обусловливаться также характером той информации, которую мы хотим получить о системе. Так, если нас интересуют электронные свойства, в формировании которых играет роль значительная область энергий, в которой плотность состояний отлична от нуля, то удобным оказывается представление одно-частичной функции Грина G(r,t) в виде фейнмановского континуального интеграла по траекториям [36]. Так обстоит дело, например, при исследовании поведения усредненной функции Грина (G(r,t)) при больших временах [37] или при расчете статистической суммы невырожденной системы электронов. Этим вопросам посвящены §§ 5, 6 настоящей главы. Для указанных метода и круга задач характерно то, что для гауссова случайного поля усреднение по ансамблю случайных полей, эквивалентное интегрированию по функциональному пространству случайных функццй U(г), выполняется точно, в замкнутом виде. Аппроксимации необходимы лишь в дальнейшем, на этапе континуального интегрирования по траекториям. Это означает, что не возникает необходимости выделять какой-либо подкласс случайных полей U(г), ответственных за искомые характеристи’ ки системы.
§ I. ВВЕДЕНИЕ
153
Существуют, однако, задачи, в которых можно заранее указать наиболее актуальные конфигурации случайного поля. Так, например, обстоит дело, когда нас интересует область энергий глубоко на хвосте плотности состояний, где она мала (а в отсутствие случайного поля — равна нулю). В этой области энергий плотность состояний отлична от нуля лишь благодаря сравнительно маловероятным конфигурациям случайного поля. Именно, важными оказываются конфигурации, в которых имеются достаточно глубокие потенциальные ямы, способные создать дискретный уровень Е на интересующей нас глубине. Аналогичное положение имеет место, когда нас интересует вероятность сосуществования двух глубоких локализованных состояний с заданным конечным расстоянием между центрами локализации [37]. В указанных задачах существенной при функциональном интегрировании по U{г) оказывается лишь малая область конфигурационного пространства U(г) вблизи некоторой оптимальной конфигурации U0(г). Соответствующий метод расчета плотности состояний развит в работах И. М. Лифшица (1967) и Б. И. Гальперина и М. Лэкса (1966), ему посвящены §§ 2 и 3 данной главы.
В настоящей главе принята та же постановка задачи, что и в §§ II. 1—II. 13. Вдобавок мы рассматриваем лишь одну ветвь энергетического спектра электронов (для определенности — зону проводимости) и пользуемся в качестве вспомогательного изотропным параболическим законом дисперсии Е(р) = р2/2т. Нуль отсчета энергии совмещен с границей зоны Ес, сдвинутой на среднее по ансамблю значение случайного потенциала. .Таким образом, как и раньше (в гл. II), <?/(г)> = 0. Далее, пренебрегая динамической корреляцией между электронами, мы считаем статистические характеристики случайного поля не зависящими от состояния системы электронов. Фактически такая зависимость потенциала U(г) может войти, например, благодаря электронному экранированию; радиус экранирования может играть роль характерной длины убывания используемой ниже бинарной корреляционной функции.
