Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(2.29)
где х = г/го, х' = г'/го. Уравнение (2.16) с функцией ?/0 из (2.29) решалось численно для различных соотношений между энергией Е и параметрами r|)i, го. Результат для 1пр(?) таков: зависимость lnp(?) ~ Vl ? I (сравните с (2.26)) с ростом |?| плавно переходит в более сильную, когда неравенство (2.19) перестает удовлетворяться. В области | Е | > V^i > I ЕI > й2/2т|о мы имеем
_lnJ^ = 1?L (2.30)
Ро . 2it4 ' '
§ 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ
159
Последний результат для асимптотического хода плотности состояний не есть следствие аппроксимаций: как показано Л. А. Пастуром (1972), он оказывается математически строгим в довольно общих предположениях.
Возвращаясь к исследованию уравнения с самосогласованным потенциалом (2.16), отметим, что оно выражает собой условие минимума положительно определенного функционала:
Г {Чу m~E\dr у* (г)Т
е [*/ (г)]=-Мт^-------------------------------------=2-=L. (2.31)
^ dr dr' у2 (г) 'Р (I г — т' |) у2 (г')
В этом нетрудно убедиться, непосредственно варьируя функционал 0[</(г)] по у (г). Использование этого функционала представляет определенное удобство, поскольку с его помощью приближенное решение (2.16) легко найти прямым вариационным методом. Это было проделано (Р. Эймар, Г. Дюрафур, 1973) для бинарной функции вида (2.28) с использованием простейших однопараметрических водородоподобных пробных функций гро~ехр(—а г). Результаты для плотности состояний, полученные столь несложным образом, оказались весьма близкими к полученным Б. И. Гальпериным и М. Лэксом (1966) путем громоздкого численного расчета.
Как уже упоминалось в § 1 настоящей главы, под функциональными методами здесь понимаются конкретное интегрирование по пространству случайных функций U{г) и интегрирование по траекториям в фейнмановской лагранжевой записи квантовомеханической функции Грина. Можно, однако, вместо второй из этих операций проводить функциональное интегрирование по пространству волновых функций г|з(г). Понятно, что эта процедура эффективна лишь тогда, когда интеграл можно приближенно вычислять по методу перевала. Так, например, ограничиваясь пространством вещественных функций г|з(г) в области больших по модулю Е, удобно рассмотреть следующий функционал:
X № (г), и (г)] = L [Ч> (г), и (г)1 + S[U (г)1, (2.32)
где
L [ф (г), U (r)l=^- \ dr (V4>)2 +5*1/ (г) ф* (г)-Е \ dr ф* (г). (2.33)
Он выбран таким образом, что при заданном распределении U(г) точка стационарности L по г|з дает решение обычного уравнения Шредингера, а величина —S[t/(r)] есть логарифм вероятности реализации U{г). Определим теперь точку стационар-
160 ГЛ. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
ности функционала Я одновременно по переменным II (г) |р =
= ^dri|)2(r) и полю U(r). Результат для ?/о(г) совпадает с
(2.176), а значение Хо в найденной таким образом точке перевала совпадает с функционалом (2.31), уже, очевидно, не содержащим U и не зависящим от нормировки у (г).
§ 3. Функция корреляции уровней
Метод оптимальной флуктуации, описанный в предыдущем параграфе, был развит для расчета одной из существенных характеристик системы — плотности состояний р (Е). Она, однако, зависит лишь от одной энергетической переменной Е. Между тем бывают важны задачи, при решении которых оказывается необходимо усреднять по случайному полю выражения; зависящие от характеристик сразу двух или большего числа уровней. К числу таких задач относится, например, расчет электропроводности вещества.
Таким образом, надо ввести плотность вероятности того, что вблизи точек R' и R" возникнут потенциальные ямы, содержащие, соответственно, уровни в интервалах ДЕ' и ДЕ" около точек Е' и Е". Обозначим эту величину через
р2 (Е', Е"\ R', R") АЕ' АЕ". (3.1)
Тогда среднее (по случайному полю) значение любой функции F, зависящей от энергий и центров локализации двух уровней, можно записать в виде
(F)=\>dR'dR" р2(Е', Е"-, R',R")FAE'AE". (3.2)
Е"
Если в функции F существенны лишь достаточно малые разности уровней, на которых величина р2 практически не изменяется, то суммирование по Е' и Е" можно заменить интегрированием. При этом
{F) = J dR' dR" J dE' dE" p2 (E', E"\ R', R") F. (3.3)
Если бы события, состоящие в возникновении уровней Е' и Е" с центрами локализации в точках R' и R", были статистически независимы, то функция р2 давалась бы просто произведением «одноуровневых» плотностей вероятности р(Е') и р(Е"). Из принципа ослабления корреляции следует, что именно так и должно обстоять дело на достаточно больших расстояниях R = | R'— R"|. Положение, однако, меняется, когда значение R становится сравнимым с суммой радиусов локализации электро*
