Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ
161
нов на рассматриваемых уровнях. Действительно*), будем мысленно сближать ямы, которые при /?—*-оо содержали бы одинаковые уровни. Как известно из квантовой механики, перекрытие волновых функций, возникающее при конечных R, приводит к их гибридизации и расщеплению уровней. По этой причине разность Е' — Е" при достаточно малых значениях | R'— R"| неизбежно оказывается конечной. Иначе говоря, условная вероятность того, что вблизи точки R" возникнет потенциальная яма с уровнем Е", если вблизи точки R' имеется яма с уровнем Е', оказывается отнюдь не постоянной в пространстве. Соответственно представим функцию р2 в виде
р2 (?', R', R") = р (?') р (Е") ? (?', Е"; R', R"). (3.4)
Функция по определению безразмерна и неотрицательна. В макроскопически однородной системе она зависит только от разности R'— R" = R; в отсутствие каких-либо физически выделенных направлений фактически остается только зависимость от | R| = /?.
Мы будем называть Ч* функцией корреляции (или корреляционной функцией) двух уровней. Аналогично можно ввести и функции корреляции трех, четырех и т. д. уровней.
В соответствии со сказанным выше функция Ч^ должна обладать следующими свойствами:
Г I, /?-> ОО,
Ч; (Е', Е", /?)->! О, Е"->Е', R-+ 0, (3.5)
( 1, \Е'-Е”\-+оо.
Условия R-+oo и | Е' — ?"1—>-оо здесь следует понимать в смысле неравенств
[у {Е') + у (?")] R > 1, I Е' - Е" | > 'sJTW, (3.6)
где у (Е'), у (Е") — обратные радиусы локализации соответствую-
щих состояний.
Явный расчет функций корреляции представляет собой задачу большой сложности. В настоящее время используются следующие приближенные выражения для Чл.
А) исчезающе малая корреляция:
Ч* = 1 при всех R, Е', Е". (3.7)
Б) 6-корреляция:
Ч' = ?6 (| ?' - Е" | - ?), (3.8)
*) Приводимая ниже трактовка квантовой корреляции в существенных чертах принадлежит Н. Ф. Мотту [40]; возможна и классическая корреляция, также учитываемая функцией V в (3.4).
162 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
где Е — некоторое среднее расстояние между уровнями. Его можно определить, замечая, что число уровней в интервале энергии АЕ с центрами локализации, лежащими в пределах шара с радиусом R, есть (4я/3)Я3р (Е) АЕ. Отсюда
? —----------
4зтЯ3р (Е) ’
В) «Ступенчатая» корреляция-.
ур = 0 (R - Я0),
где
D - 1 In -
у(Е') + у(Е") | Е' — Е" |
Г) Дайсоновская корреляция-.
W = [l-Y2 (Е'-Е")]Ф(Я),
где Ф(R) — какая-нибудь подходящая функция расстояния, К2 — одна из функций, вычисленных Дайсоном [41] в его статистической теории уровней сложных ядер; Y2(E'— ?")-»-1 при Е' — Е" -> 0.
Первая аппроксимация, строго говоря, не может быть правильной, ибо не удовлетворяет второму из условий (3.5). Использование ее может быть в какой-то мере оправдано, только если выражение, усредняемое с помощью функции (3.7), по каким-либо специальным причинам очень мало в области малых значений R.
Вторая аппроксимация представляет собой предельный случай более сложного выражения, полученного для одномерной системы в работе В. Л. Покровского (1966). Она также не может быть строго правильной, ибо не удовлетворяет первому из условий (3.5). Видимо, ее применение имеет известный смысл, если в усредняемом с ее помощью выражении главную роль играют малые расстояния R, а большие расстояния несущественны (аппроксимация, обратная случаю (3.7)).
Выражение (3.10) получается как следствие резко упрощенного варианта соображений Мотта (1969). Именно, будем рассматривать уровни с энергиями Е' и Е" как результат расщепления двух уровней, которые были бы одинаковы при бесконечном удалении соответствующих ям. Тогда по порядку величины
\Е'-Е"\~ л/WWехр {- R [у (?') + у (Е")]}. (3.13)
При заданном значении | Е' — Е"\ эта формула определяет минимально возможное расстояние между центрами локализации Ro (см. (3.11)). Заметим, что правая часть (3.11) может ока-
(3.9)
(3.10
(3.11)
(3.12)
« 4*. ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ УРОВНЕЙ В ГАУССОВОМ ПОЛЕ 163
заться и отрицательной. При этом корреляция между уровнями в принятом приближении исчезает.
Оценка (3.13) может иметь смысл, если расстояние R, с одной стороны, столь мало, что влияние всех остальных ям несущественно, а с другой — столь велико, что [7 (Е') + у (Е") ] R >•
1 (при этом можно воспользоваться асимптотическим видом собственных функций дискретного спектра).
Наконец, функция (3.12) получена в предположении, что плотность состояний постоянна, а полное число уровней в системе конечно. Это означает, что данная аппроксимация может быть оправдана лишь при рассмотрении уровней, достаточно близких друг к другу: энергетическое расстояние между ними должно быть мало по сравнению с характерной энергией, на которой заметно изменяется плотность состояний. Далее, большие значения R не должны играть роли при усреднении. При этом объем пространства, по которому надо усреднять, оказывается эффективно ограниченным; число уровней в этом объеме и в рассматриваемом интервале энергии действительно конечно. Явный вид функции Ф в этих условиях, видимо, не играет особой роли, и можно просто положить Ф = 1.
