Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь i)3o(r) — волновая функция, отвечающая низшему уровню Е0 в яме г/0(г). Поскольку функция U0(г) вещественна, мы можем и \|)0 считать вещественной. Сверх того, она по условию не имеет узлов. Используя формулы (2.10) и (2.12), находим из (2.9)
\dr' В (| г - т' |) Uо (г') + Р у-- (Г) - = 0. (2 1з\
С помощью (2.4) отсюда непосредственно получается выраже-
ние для оптимальной флуктуации Uo(r) через неизвестную пока волновую функцию ф0 основного состояния с энергией Е0 в яме U0(r):
Uо (г) = -г-^-------\ dr" V (| г - г" |) Ч>02 (г"). (2.14)
) (r') *'
Функция фо должна удовлетворять уравнению (2.11), а множитель р определяется из условия Е0 = Е.
Итак, мы получили нелинейное уравнение типа уравнения Шредингера, но с потенциалом, зависящим от искомой функции. Очевидно, его решение можно искать в сферически симметричной форме: фо(г) = ifo(0¦ Действительно, такой выбор формы искомого решения, с одной стороны, согласуется с приведенными после формулы (2.4) соображениями о доминирующем вкладе в р(?) основных состояний в ямах. С другой стороны, это предположение самосогласовано, поскольку Ч^г) зависит лишь от |г |, так что, согласно (2.14), оптимальная флуктуация t/0(r} оказывается сферически симметричной одновременно с t|jo(r)'- Параметр р можно исключить, введя вместо ifo(r) новую неизвестную
У (г) = VF (г) | ^ 'фо* (г') dr' | (2.15)
и включив условие Е0 — Е в уравнение (2.11). Получим
ДУ(г)~[\ dr' ЧГ (| г - г' D У2 (г')] У (г) = Еу (г). (2.16)
§ 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ 157
Граничные условия к этому уравнению таковы:
у (г)-* 0, U0(r)-+ 0 при г —> оо, (2.17а)
где
U0 (г) = - J dr' V (| г — г' |) ф {г'). (2.176)
Заметим, что функция у (г) не нормирована. Как видно из равенства (2.176), через нее непосредственно выражается оптимальная флуктуация потенциальной энергии U0(г); следовательно, искомая плотность состояний, согласно (2.7), (2.8) и
(2.176), определяется формулой
¦ In
Р(?)
Ро
So = 1 5 dr dr' у* (г) W ([ г — г' I) У2 (г'). (2.18)
Здесь целесообразно конкретизировать форму бинарной функции 'Р(г). Пусть характерная длина убывания go функции xF(r) мала по сравнению с длиной затухания функции у (г) в интересующей нас области энергий. Иначе говоря, пусть
Й2/2т|2 > | ? |. (2.19)
Это условие подлежит проверке в дальнейшем,
В этом случае в качестве W (г) достаточно взять выражение (11.7.37b):
Ч? (г) = Ф0 б (г). (2.20)
Это — случай так называемого «белого гауссова» шума. Ввиду его относительной простоты этот пример особенно популярен. В одномерной задаче в такой модели получен ряд точных численных и аналитических результатов (X. Л. Фриш и С. П. Ллойд, 1960; Б. И. Гальперин, 1965; Г. Циттарц и Дж. С. Лэнджер, 1967; см. также обзоры [21, 39]).
Подставив выражение (2.20) в (2.16) и (2.18), получим
--?-Аг/(г)-Ф0г/3(г) = ?г/(г), (2.21)
-1п-^р-»1ф05^(г)Л. (2.22)
Теперь удобно ввести безразмерную координату
* = j- V2m | Е | (2.23)
и безразмерную неизвестную функцию
. г(*) = УФьРЬМ. (2-24).
158 гл. III. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Тогда, учитывая еще сферическую симметрию задачи, нахо-дим, что искомая функция z(x) удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению без параметров
— z + z3 = 0, z —>¦ 0 при х —*¦ оо; (2.25) при этом энергетическая зависимость плотности состояний
— in = _VT^T——п- с (2.26)
Ро Ф0 16mh
оказывается явно вычисленной с точностью до числа
оо
с — 4я ^ х2 dx z4 (л;). (2.27)
о
Значение с можно определить численными методами или путем приближенного решения уравнения (2.25). К этому вопросу мы вернемся ниже.
В более общей постановке эта задача решалась в указанных выше работах. В работе И. М. Лифшица (1967) было исследовано поведение плотности состояний для системы с большой флуктуирующей концентрацией примесных атомов — источников короткодействующего потенциала. Статистика конфигураций концентрации примеси бралась не обязательно гауссовой. В работе Б. И. Гальперина и М. Лэкса (1966) рассмотрено гауссово случайное поле, обусловленное высокой концентрацией заряженной и экранированной примеси, так что бинарная функция имела вид (II. 7.37а):
^(r) = ^ie“r/4 (2.2S
где go = Га — радиус экранирования.
В этих условиях из (2.176) вытекает, что
Uо (хг0) =
= const ^ dx' х'у2 (х') {е-1 *“¦*' I {х + х' + 1) — е~{х+хГ> (| х — х' | + 1)},
