Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 16*. КУЛОНОВСКАЯ ЩЕЛЬ
135
Следовательно, с точностью до членов порядка 1/Q правая часть (16.14') равна единице, т. е.
& = Q(El — Eb). (16.13")
Видим, что при Еа > Е% условие устойчивости выполняется с вероятностью единица. Смысл этого результата ясен: в большой системе уровни со сравнительно близкими энергиями с подавляющей вероятностью расположены далеко друг от друга в пространстве, а на больших расстояниях эффект экранирования подавляет кулоновскую корреляцию. С другой стороны, при ?а|3 = 0 ситуация меняется: здесь сколь угодно слабое взаимодействие типа притяжения уже достаточно для нарушения условия устойчивости. Таким образом, в рассматриваемой нами неупорядоченной системе кулоновская щель конечных размеров не возникает, однако случай Е'а = Е1 должен быть исключен. Это означает, что корреляционные эффекты должны привести к невозможности реализации точных равенств в соотношениях (16.7). Иначе говоря, плотность состояний р(Е) должна обратиться в нуль при Е = Fa, оставаясь, однако, конечной при Е ф F0 (об этом иногда говорят как о «мягкой щели» (A. JT. Эфрос, Б. И. Шкловский, 1975)). В указанных условиях простейшее выражение, описывающее плотность состояний вблизи F0 — уровня Ферми при 7 — 0, имеет вид
р (Е) = const (Е — F0)2. (16.17)
Очевидно, const — ll2p"(F0).
Интервал энергий, Е, в котором может быть справедливо выражение (16.17), иногда называют «шириной щели». Значение Е с трудом поддается надежной оценке. Ясно лишь, что, определяясь сравнительно слабыми корреляционными эффектами, оно должно быть невелико по сравнению с другими характерными энергетическими расстояниями в запрещенной зоне (например, по сравнению с Ес — F0 и F0 — Ev). Подчеркнем, что формула (16.17), как и все предыдущее рассмотрение в этом параграфе, относится, строго говоря, к случаю 7 = 0. При 7 ф 0 (но 7 < Ё) следует ожидать лишь более или менее глубокого минимума плотности состояний вблизи точки E — F, где F — уровень Ферми при данной температуре.
Формула (16.17) действительно получается в результате приближенного расчета плотности состояний. Не вполне ясно, однако, не изменится ли картина в результате многочастичных корреляций. В настоящее время этот вопрос еще должным образом не изучен. В дальнейшем мы примем формулу (16.17) в качестве гипотезы и изучим некоторые вытекающие из нее экспериментально проверяемые следствия. Будем предполагать
136 ГЛ. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
при этом, что локализованные состояния — в основном одноэлектронные. Это не противоречит сделанному выше выводу о роли корреляционных эффектов, ибо они учитываются самой формулой (16.17).
§ 17*. Экранирование локализованными носителями заряда
при наличии мягкой щели
Рассмотрим задачу об экранировании электростатического поля (в частности, потенциала взаимодействия между локализованными зарядами) в условиях (16.17). Будем исходить из обычного самосогласованного уравнения для среднего потенциала электрического поля ф, создаваемого точечным источником:
V2(p = — у- q [ф]. (17.1)
Здесь е, как и раньше, есть диэлектрическая проницаемость вещества, а <7 [ф] — объемная плотность заряда. Она должна удовлетворять известному условию, выражающему нейтральность образца в целом:
^й?хд[ф] = 0. (17.2)
В отсутствие источников поля потенциал ф в макроскопически однородной системе есть константа, которую мы будем считать равной нулю. Интересуясь только влиянием кулоновской щели, пренебрежем возможной «технологической» корреляцией в пространственном распределении заряженных центров. Фактически это может быть оправдано или не оправдано в зависимости от условий приготовления образца. Если такая корреляция на самом деле заметна и экранирование, связанное с ней, существенно, то рассматриваемая ниже задача становится беспредметной. Будем считать также, что температура достаточно мала:
Т<Ё, T<EC-F0, T<?F0-EV. (17.3)
Первое из неравенств (17.3) играет здесь роль условия вырождения; вторые два неравенства позволяют пренебречь наличием свободных носителей заряда. Таким образом, остается только механизм экранирования, обусловленный перераспределением локализованных электронов и дырок в пространстве.
Для вычисления q [ф] заметим, что концентрации электронов, локализованных на донорах, nd и дырок, локализованных на акцепторах, ра даются выражениями типа (1.5.3), (1.5.4):
Щ =,$ pd (Е) пр (Е) dE, ра = ^ ра (Е)[\ — пр (?)] dE.
§ 17*. ЭКРАНИРОВАНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ МЯГКОЙ ЩЕЛИ
137
Здесь рd и рц — сглаженные плотности состояний донорного и акцепторного_ типов (для обоих направлений спина). Замена pd, ра на pd, ра оправдана здесь в силу (1.6.2): речь идет о вычислении термодинамических величин.
Полная плотность состояний складывается из плотностей состояний донорного и акцепторного типов:
