Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Последняя определяется обычным выражением (см. (II.7.5)):
Ч* (| г — г' |) = (?/ (г) U (г')). (1.1)
В этой формуле явно указано, что роль аргумента функции Т играет модуль разности радиус-векторов г и г'. Это есть выражение макроскопической однородности и изотропии системы.
Принятые в такой постановке задачи упрощения несколько ограничивают круг систем, к которым могли бы относиться результаты теории. Все же многие закономерности и эффекты, обусловленные именно случайным характером поля, таким путем удается установить.
154 гл. III. ПЛОТНОСТЬ состоянии И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Наконец, будем рассматривать только гауссово случайное поле. При этом все характеристики поля выражаются только через бинарную корреляционную функцию 'Р(г). Как отмечалось в § II. 7, гауссова статистика случайного поля реализуется во многих физических интересных системах. С другой стороны, это — едва ли не простейший пример случайного поля [38].
§ 2. Метод оптимальной флуктуации
В настоящем параграфе указанный в заглавии метод будет применен к отысканию плотности состояний р (Е) в области больших по абсолютной величине отрицательных значений энергии, т. е. глубоко под дном зоны проводимости. Те же результаты справедливы и для дырок, с очевидными изменениями смысла некоторых величин. Согласно сказанному в §1.6, мы должны найти следующее среднее по ансамблю полей U(г):
Р(?) = 1^(Z6(E~ExW(r)])y (2.1)
где Е\ — собственные значения уравнения Шредингера в конкретном поле U(г). Операция усреднения производится путем функционального интегрирования по полям U(г) с плотностью распределения (II. 7.12'):
& [U (г)] = Wехр | —^^dr dr' U (г) В(\г — г' |) U (г')} • (2.2)
Здесь 5(|г — г'|)—положительно определенное ядро, N — (формально бесконечный) нормировочный множитель, такой, что
$0[t/(r)]^[t/(r)] = l, (2.3)
а символом ^ Ф [/] А [/] здесь и в дальнейшем обозначается
операция функционального интегрирования некоторого функционала А [/] по пространству функций /. Ядро 5(|г — г'|) непосредственно связано с бинарной функцией Ч^г):
J В (| г - г' |) Ч (| г' - г" |) dr' = б (г - г"). (2.4)
Коль скоро нас интересует область хвоста плотности состояний, вклад в р (Е) для таких энергий может проистечь лишь от конфигураций U(г), в которых имеются не слишком узкие ямы глубиной не менее \Е\. Подобные ямы вносят большой вклад в фигурирующий в (2.2) интеграл, при котором стоит знак «минус», т. е. они весьма маловероятны. В этих условиях вероятность того, что в данной яме ниже рассматриваемого уровня имеется
§ 2. МЕТОД ОПТИМАЛЬНОЙ ФЛУКТУАЦИИ 155
какой-то еще, пренебрежимо мала. Иначе говоря, основной вклад в р(?) происходит от нижних, основных уровней в ямах. Поскольку уровней с такими энергиями мало, все такие ямы можно считать изолированными друг от друга. Это означает, что мы вправе исследовать задачу о нахождении вклада от одной отдельной ямы, в которой основной уровень ?0[^(г)] = ?'. Искомая величина р(?) равна плотности вероятности флуктуации U(г), обеспечивающей появление наинизшего уровня с энергией Е. Таким образом,
р (Е) ~ [U (г)] 9 [U (г)] б (Е0 [U (г)] - Е). (2.5)
Иначе говоря, в функциональном пространстве U(г) интегрирование ведется по гиперповерхности, на которой аргумент 6-функ-ции равен нулю. Главный вклад в интеграл в правой части (2.5) происходит от окрестности той «точки» f)o(r), в которой величина 9[U(r)] максимальна. Записав гауссово распределение в виде
[U (г)] = N ехр {— 5 [U (г)]}, (2.6)
мы приходим к задаче о нахождении минимума функционала 5 при условии jE’o [t/(г) ] = Е. Решение этой задачи даст нам основную, экспоненциальную зависимость плотности состояний от энергии. Интересуясь только ею, мы можем считать предэкспо-ненциальный множитель в формуле для плотности состояний просто константой ро соответствующей размерности. Тогда
Обозначим через U0(г) ту оптимальную флуктуацию случайного поля, для которой достигается искомый минимум:
50 = 5 [Uo (г)] = min 5 [(U (г)] | {и (г)]_в. (2.8)
Оптимальную флуктуацию t/o(r) будем искать из задачи на условный экстремум:
fl{S[?/(r)] + p?o[?/(r)]} = 0, (2.9)
где р — неопределенный множитель. Согласно (2.2) и (2.6) вариация 65 по б U = U — U0 есть
65 [U (г)] = J dr dr' В (| г - г' |) Uо (г') bU (г). (2.10)
Вариация функционала ?0[^(г)] определяется известной формулой для поправки к первому собственному значению уравнения
-^Aipo(r) + t/o(r)i|>o(r) = ?oi|>o(r). (2.11)
156 гл. ITT. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИИ И ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Эта поправка под действием возмущения 8U(г) дается выражением
\ 'I’o (г)5^(г) Фо (г) *
б?0= J с .-------------(2.12)
\ (г) Фо (г) dr
