Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ea>Fo, E$^Fo. (16.7)
В зависимости от природы системы знаки равенства здесь могут достигаться или не достигаться.
Последнее слагаемое в фигурных скобках в правой части
(16.5) учитывает эффект корреляции. Как видно из уравнения
(16.5), энергия возбуждения системы при «перебросе» одного электрона дается выражением
AEi — Еа — E$— V (а, р). (16.8)
Знак «минус» перед последним слагаемым как раз и описывает притяжение между возникающими при перебросе электроном и дыркой. Тот факт, что величина Д?i зависит от а и р, не должен вызывать удивления: выше уже отмечалось, что эти наборы квантовых чисел сохраняют точный смысл и для многоэлектронной задачи, коль скоро мы пользуемся гамильтонианом
§ 16*. КУЛОНОВСКАЯ ЩЕЛЬ
133
(16.1'). Можно показать, что при ti N энергии возбужденных состояний с большим числом «переброшенных» электронов даются суммами выражений (16.8). Таким образом, для исследования слабо возбужденных состояний системы достаточно ограничиться формулой (16.8).
По определению величина A?i должна быть неотрицательной при любых заданных значениях Е*а и Е}/. в противном случае принятое выше предположение о характере основного состояния системы оказывается неправильным. Об этом говорят как о неустойчивости основного состояния (относительно возмущения, вносимого корреляционными эффектами). Соответственно неравенство ДEi ^ 0 называют условием устойчивости. Если оно не выполняется, то возмущение V(а, Р), даже слабое, приводит к перестройке энергетического спектра. Она может состоять в появлении энергетической щели между состояниями аир. При этом разность энергий Е*а — Е%, должна быть не меньше некоторой положительной величины Дар:
?а-?р>Дар. (16.9)
Ширина щели Дар определяется условием устойчивости
Дар>У(а, Р). (16.10)
Щель, обусловленную рассмотренными выше эффектами взаимодействия между электронами, называют кулоновской. Из предыдущего, однако, ясно, что для возникновения щели существенно лишь само наличие эффективного притяжения между носителями заряда, а не конкретная его природа.
В чистых кристаллических полупроводниках состояниям а и Р отвечают, соответственно, зона проводимости и валентная, а Дар есть ширина запрещенной зоны, в пределах которой расположен уровень Ферми. Неравенство (16.10) означает при этом, что выигрыш энергии, достигающийся при связывании свободных электрона и дырки в экситон, не компенсирует проигрыша ее, связанного с необходимостью переброса электрона из валентной зоны в зону проводимости.
В системе с плотностью состояний, изображенной на рис. 4, а, щель отсутствует, и перестройка спектра становится необходимой. Следует, однако, принять во внимание, что величины Е*а, Е\, Ra и Rg здесь случайные. По смыслу задачи разность уровней
Еа — ЕЪ = Еа$ (16.11)
надо считать заданной, но расстояние R = | Ra—Rg| может изменяться произвольно — с учетом лишь ограничения, в рамках которого получена формула (16.3). При этом, как всегда в системе со случайным полем, нас интересует не условие устойчи-
134 гл. II. СПЕКТР НЕУПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА
вости само по себе, а лишь вероятность {р его реализации. С аналогичной математической задачей мы уже встречались в § 7 (см. (7.49) — (7.51)); разница состоит лишь в том, что здесь нас интересует вероятность реализации неравенства
Ea&-V(а, р)>0 (16.12)
при любом заданном значении Еа Искомая вероятность есть
& = Ф (Еа$ — V (a, P)))R, (16.13)
где символ (. ..)r обозначает усреднение по всем возможным векторам R = Ra — Re при фиксированной величине Еав. При знаке точного неравенства в (16.12) можно написать, как и в § 7,
— оо
Обозначим через 'F (?а, ?р; Ra. Rp) условную вероятность того, что вблизи точки Re возникнет потенциальная яма с уровнем ?р, если вблизи точки Ra имеется яма с уровнем Е’а *). В макроскопически однородной системе это есть функция только от разности Ra — Rp = R; при этом вероятность возникновения какой-либо одной ямы в элементе объема JR есть просто dR/Q, где, как и раньше, Q — полный объем системы. Таким образом,
(e-<sl%l>R = J-^ ?(?', ?3; R)e“<elvapl. (16.14)
По определению функция Ч' должна удовлетворять условию нормировки
$4гч'(?“> ?»; R)=l- (16Л5)
Следовательно, равенство (16.14) можно переписать в виде (ехр ( is | Fapl)}R =
-i + S^ra, ?з; R)[exP(-/s|Fap|)-l]. (16.140
Как уже отмечалось, функция F(x — х'), а потому и Va$, неизбежно представляет собой энергию экранированного взаимодействия. Это означает, что при Q-voo
JdR| l/ap(R)|<oo. (16.16)
*) Функция V называется двухуровневой функцией корреляции — см. ниже, § III. 3. В рассматриваемой сейчас задаче явный вид ее оказывается несущественным.
