Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в описанной выше модели плавного искривления зон не учитывались возможности туннельного проникновения электронов в классически недоступные области и над-барьерного отражения. Фактически квантовые эффекты могут быть более или менее существенными в зависимости от масштаба и амплитуды флуктуаций, эффективных масс носителей и т. д. Учет квантовых эффектов приводит к тому, что порог локализации Ес оказывается отличным от классического уровня протекания Е^л). Наряду с этим может оказаться, что определяющую роль играет рекомбинация путем туннелирования в области максимумов потенциального рельефа (канал I на рис. 18). Это, в частности, существенно отражается на виде спектров рекомбинационного излучения (А. П. Леванюк, В. В. Осипов, 1973; В. В. Осипов, Т. И. Соболева, М. И. Фой-гель, 1978).
Для описания явлений переноса в неоднородных полупроводниках можно воспользоваться макроскопичностью флуктуаций, вводя локальные характеристики системы (§ 11.13). Последние определяются с помощью усреднения по объему, размеры которого малы по сравнению с характерным масштабом неоднородностей, но велики по сравнению с длиной свободного пробега, определяемой мелкомасштабными флуктуациями (и, возможно, фононами). Соответственно в неоднородных полупроводниках можно ввести случайные концентрацию электронов п(х), их подвижность |д,(х), локальную функцию распределения f(x,E) и локальную подвижность, зависящую от энергии ц(х, Е). Ясно, что в рассматриваемой модели вклад в проводимость среды могут давать лишь электроны с энергиями, превосходящими порог протекания Ес. При F < Ес это обстоятельство и определяет активационный характер температурной зависимости числа электронов, заброшенных в область ? > Ес, а с ним — и проводимости системы. С другой стороны, при перемещении уровня Ферми в область Е > Ес происходит переход к безактивационной металлической проводимости. Заметим, однако, что вычисление проводимости неупорядоченного полупроводника представляет собой далеко не простую задачу, даже если известны статистические свойства локальных характеристик случайной среды. Дело в том, что форма связной инфинит-
278
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
ной области пространства, классически доступной для электрона с энергией Е, может быть весьма сложной. По этой причине вклады в полную проводимость от различных областей про* странства с близкими значениями локальной проводимости могут существенно различаться. Например, можно ожидать, что вклад от «заливов», аналогичных «тупикам» в бесконечном кластере связей, будет малым. Соответственно, вообще говоря, нельзя считать, что проводимость системы при Е > Ес пропорциональна объему бесконечной классически доступной области пространства. Отыскание характера изменения проводимости в области вблизи порога требует более детальной информации о свойствах системы вблизи порога протекания.
§ 16*. Критическое поведение в задачах протекания
Выше при рассмотрении прыжковой проводимости по локализованным состояниям мы установили, при каких условиях задача о проводимости трехмерной случайной сетки сопротивлений может быть приближенно решена методами теории протекания. Как мы видели в § 15, вычисление проводимости неоднородных полупроводников с крупномасштабными флуктуациями потенциала в определенных случаях также сводится к одной из задач теории протекания; к теории протекания приводит и ряд других задач о проводимости различных неупорядоченных систем. Характерная особенность задач протекания в бесконечных системах состоит в существовании порога, при котором скачкообразно меняются топологические свойства системы. Именно, в пороговой точке возникает бесконечный кластер зацепляющихся связей (или связанных открытых узлов), или бесконечно протяженная связная область пространства, доступная для носителей заряда. В этом смысле можно говорить об изменении свойств связности системы при появлении в ней возможности протекания и о появлении корреляции между свойствами системы на больших расстояниях. Ситуация здесь в известном смысле напоминает ту, что возникает при фазовых переходах второго рода. Эту аналогию оказалось возможным использовать для распространения методов, развитых в теории фазовых переходов второго рода, на задачи протекания (П. В. Кастелайн, К. М. Фортуин, 1969).
Связь теории протекания с теорией фазовых переходов можно проиллюстрировать на примере модели разбавленного ферромагнетика [51, 54]. Пусть часть немагнитных атомов в узлах регулярной решетки заменена ферромагнитными, доля которых есть р. Будем считать, что взаимодействие между ферромагнитными атомами устанавливает одинаковую ориентацию спинов, если они расположены в соседних узлах, а для более
§ 16*. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ПРОТЕКАНИЯ 279
далеких атомов этим взаимодействием можно пренебречь. При малых концентрациях ферромагнитных атомов вероятность их попадания на соседние узлы мала, и кластеры, внутри которых ориентация спинов одинакова, изолированы друг от друга. При этом макроскопический магнитный момент системы равен нулю в силу случайности ориентаций спинов в различных кластерах. С возрастанием концентрации возрастают и размеры кластеров. Наконец, при некотором пороговом значении р = рс в системе появляется бесконечный кластер, возникновение которого отвечает переходу в ферромагнитное состояние. Действительно, при р > рс в системе появляется отличный от нуля магнитный момент, поскольку ориентация всех спинов бесконечного кластера одинакова. Эта задача о разбавленном ферромагнетике совпадает с перколяционной задачей узлов, если принять, что открытые узлы соответствуют ферромагнитным атомам.
