Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ис и uv — периодические части функций Блоха для соответствующих зон; как часто делается в оптике кристаллических полупроводников, принято, что зависимостью ис и uv от квазиволно-вого вектора к можно пренебречь.
Для дальнейшего необходимо вычислить фигурирующие в
(1.14) функции Грина как явные функционалы от случайной потенциальной энергии U(x). Это удается сделать в рамках
(1.14)
(Мб)
§ 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. РОЛЬ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
287
квазиклассического приближения (Л. В. Келдыш, 1962; В. Л. Бонч-Бруевич, 1962; Э. Кейн, 1963).
Изложение основных идей квазиклассического метода можно найти в книге [13] и обзоре [35] (см. также Приложение XII). Здесь мы только реферируем основные результаты.
Будем рассматривать два типа случайных полей — гладкое и кулоновское.
Характеристический функционал гладкого гауссова поля дается формулой (II. 7.20), а гладкого поля общего вида —выражением (II. 7.34') при дополнительных условиях
^ к2Ф (k) dk < оо, ф2 = ^ &2Ф (к) dk <С cpf2, (1.16)
где функция ф1 дается выражением (II. 7.43), а тг обозначает приведенную эффективную массу носителей заряда.
Условия (1.16) приобретают особенно ясный смысл в случае гауссова поля, когда Ф(к) заменяется фурье-образом корреляционной функции Т (§ II. 7)*). Мы имеем при этом
<(Vt/)2X оо, Ji-<(v?/)2)< «?Л»3/2. (1.17)
Видно, что речь идет о поле, в среднем медленно изменяющемся в пространстве, причем роль характерной длины, на которой потенциальная энергия U(х) в среднем почти не изменяется, играет величина [2 Wmr/h) «?/2»1/4Г •
Согласно § II. 8, задача об электроне в гладком случайном поле может представить интерес в связи с изучением материалов, содержащих полумакроскопические дефекты. Последние могут возникнуть, в частности, в результате облучения.
Неравенства (1.16), (1.17) позволяют вычислять функцию Грина с помощью формального разложения аргумента экспоненциальной функции в формуле (П. XII.14) по пространственным производным потенциальной энергии. Таким путем можно рассматривать как переходы с участием дискретных уровней (если их достаточно много), так и переходы между состояниями непрерывного спектра при наличии плавного случайного искрив-
*) Рассмотрение задачи о поведении электронов в гауссовом случайном поле представляет интерес с двух точек зрения. Во-первых, это — простейший нетривиальный пример неупорядоченной системы, удовлетворяющий всем физически разумным условиям, связанным с ограниченностью флуктуаций и т. д. Во-вторых, ряд случайных полей (в том числе физически очень важное пуас-соновское поле) приближенно сводится к гауссову (см. § II. 7), коль скоро речь идет о не слишком больших флуктуациях потенциальной энергии электрона. Следует, однако, помнить, что в условиях, когда существенны большие флуктуации, использование представления о гауссовом поле может оказаться Неоправданным. Видимо, так обстоит дело, когда речь идет о достаточно глубоких флуктуационных уровнях.
288
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
ления зон. Заметим, что в последнем случае величина U{x) меняет свой смысл по сравнению с тем, который придавался ей в предыдущих параграфах: теперь это есть не истинная потенциальная энергия носителя заряда, а случайная функция Ес(х) (или, для дырок, —Ev(x)). Изначальное случайное поле проявляется здесь косвенно — через плавное искривление зон, связанное с наличием случайного начала отсчета энергии (§ II. 12).
Рис. 19. Искривление зон случайным полем при Uc (х) = Uv (х). 1 — оптический переход в классическом приближении (возможен лишь при Йсо ^ Eg); 2 — оптический переход с учетом квантовых поправок (возможен и при Йсо < Eg).
Следует различать два вида гладких случайных полей в соответствии с тем, зависит или не зависит флуктуация потенциальной энергии электрона от номера зоны. В последнем случае случайное поле одинаковым образом сдвигает дно зоны проводимости и потолок валентной зоны (рис. 19):
?/в (х) «= ?/„ (х). (1.18а)
Локальное значение ширины запрещенной зоны при этом не изменяется. Соответственно в чисто классическом приближении оптические переходы происходят так же, как и в отсутствие слу* чайного поля (в частности, энергия поглощаемого или испускаемого фотона не должна быть меньше Eg). Следовательно, учет квантовых поправок здесь необходим принципиально. Как видно из рис. 19, они действительно могут привести к появлению хвоста коэффициента поглощения. Происхождение его очевидно: это есть просто эффект Келдыша — Франца в гладком случайном поле. В случае
ив(х)фиЛ*) (1.186)
флуктуации потенциальной энергии электрона влекут за собой и флуктуации ширины запрещенной зоны. При этом хвост коэф-фициента поглощения появляется уже в чисто классическом при* ближении (рис. 20).
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ
289
Соответствующий характеристический функционал кулоновского поля имеет вид (II. 7.32), причем фигурирующая там потенциальная энергия Va дается формулой (II. 7.31). Поле этого