Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
е2 (со) — А ехр [S • (/гсо — ?g)]. (2.11)
Величина А в формуле (2.11) содержит постоянные и более слабые частотные зависимости, чем экспонента.
Видим, что теория действительно объясняет правило Урбаха (1.3.1). Тот же результат получается и в негауссовом гладком поле [35]. Таким образом, результат (2.11) не связан с какими-
либо частными модельными представлениями. Как и следовало
ожидать (§ 1), эффект оказывается_ существенно квантовым: согласно (2.10) характерная энергия Е = S-1 обращается в нуль при 0. Хвост коэффициента поглощения при этом исчезает.
Отметим, что выражение (2.11), вообще говоря, отнюдь не совпадает по виду с плотностью состояний электронов или дырок, равно как и с комбинированной плотностью состояний. Так,
292
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
в гладком гауссовом случайном поле хвост плотности электронных состояний при J Е — Ес | » г]?1/2 описывается формулой (III. 7.14) (в которой энергия Е отсчитывается от Ес). В силу условия (1.17) правая часть (III. 7.14) убывает с ростом |? — Ес| медленнее, нежели функция (2.11) с ростом Йсо — Еа. Это означает, что между плотностью состояний и коэффициентом поглощения света действительно имеется корреляция, соответствующая третьей из теорем § 1.5, однако это — в данном случае — только корреляция, а не явная связь. В соответствии со сказанным в § 1.5, явный вид плотности состояний в оптических исследованиях в общем случае не воспроизводится (хотя иногда это и возможно — см. ниже, п. Б)).
Из сказанного следует, что попытка оценить плотность состояний в запрещенной зоне по оптическим данным, обработанным, например, с помощью формул типа (1.12), может дать весьма заниженный результат.
Далее, сделаем еще три замечания.
Во-первых, согласно (2.10) выражение (2.11) не аналитично по «константе связи электрона со случайным полем», роль которой в данном случае играет величина 2г|)2. Следовательно, этот результат нельзя получить ни в каком конечном порядке теории возмущений.
Во-вторых, случайное поле входит в выражение (2.6) так, как если бы мы с самого начала оставили только квантовую поправку, связанную с напряженностью случайного поля (она дается тем выражением, которое подвергалось линеаризации (см. формулу (2.4))). Иначе говоря, в принятых приближениях
A (s) = (ехр {- is3h2 (Vt/)2/24mf} ). (2.12)
Но тогда «полное» усреднение с функционалом U] должно
быть эквивалентно усреднению с некоторой функцией распределения напряженностей случайного поля 8г. Эта функция определяется по заданному функционалу ?P[U] с помощью равенства
Р (g() = J bU 9> [U] 6 (eg, - VU). (2.13)
Вычисляя функциональный интеграл в (2.13), получаем для гауссова функционала ^[?/] (Б. Эссер, 1972)
Р (g;) = (Зе2/2яг])2)3/2 ехр {- Зе282/2г|>2}. (2.14)
-Выполняя усреднение в формуле (2.12) с функцией Р(вг) (2.14), получаем опять выражение (2.6). Таким образом, формула (2.8)
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ
293
эквивалентна представлению
е (<о) = J dStP (St.) eKF (со, S,), (2.15)
где
ekf (®> &i) ~
ОО
dS\ dk 6ХР { ~ iS (Е* ~h& + ~ 1 } (2'16)
о
есть интегральное представление для диэлектрической функции при наличии постоянного электрического поля (эффект Келдыша — Франца).
Возможность представить результат в таком виде не должна вызывать удивления: в принятом выше приближении мы отбросили слагаемые, содержащие вторые производные от потенциальной энергии U(г).
Выражение (2.15), с учетом (2.14) и (2.16), эквивалентно предложенному ранее Д. Редфилдом (1963) и Дж. Д. Доу и Д. Редфилдом (1973 г.) на основании соображений полуинтуи-тивного характера. Подчеркнем, однако, что оно оказывается справедливым только для гладкого случайного поля. Для поля, созданного совокупностью хаотически распределенных в пространстве заряженных центров, представление (2.15) (с сохранением точного физического смысла величины P(&i)) оказывается невозможным (Б. Эссер, 1973).
В-третьих, рассмотрим область частот, заметно превышающих оптическую ширину запрещенной зоны:
S.(Ao-?g)> 1. (2.17)
При этом мы получим из (2.8)
е2 (©) = Уйсо — Eg. (2.18)
Такая связь ег с частотой характерна для прямых разрешенных переходов в кристаллических полупроводниках — в отличие от часто наблюдаемой в аморфных и стеклообразных материалах квадратичной зависимости (1.3.5). Причина того, что формула
(2.8) не описывает последнюю зависимость, заключается в сравнительно слабом рассеянии электронов в гладком поле: в условиях (2.17) силы, действующие со стороны такого поля, почти
не снимают закон сохранения квазиимпульса и практически не
изменяют вида плотности состояний глубоко в разрешенных зонах. Это позволяет обычным образом ввести комбинированную плотность состояний, вид которой и воспроизводится выраже-