Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
«(«>) = —(--2-+Y —+[—Rea(co)J ) . (1.1)
Здесь с — скорость света в пустоте, о — комплексная электропроводность, 8i — вещественная часть диэлектрической проницаемости. В интересующих нас условиях частота со (~Egl 0pt/A) такова, что выполняется неравенство
При этом формула (1.1) принимает более простой вид*):
Вместо коэффициента поглощения часто пользуются связанной с ним величиной — мнимой частью диэлектрической проницаемости е2(со). Поскольку комплексная диэлектрическая проницаемость системы электронов связана с комплексной электропроводностью а = (Ti + io2 соотношением
мы имеем, с учетом (1.3),
со» —Recx(co).
(1.2)
а (со) = 4л,— Re а (со).
с Ve 1
(1.3)
(1.4)
*) В указанных выше условиях 8i((o) > 0.
$ 1. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ. РОЛЬ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ
283
Эта величина может оказаться более удобной для исследования, так как она не содержит показателя преломления Последний, как и ё2, может изменяться как при изменении концентрации носителей заряда, так и под действием внешних полей. В интересующих нас условиях первый из этих эффектов, видимо, не играет роли, но второй (при наличии электрического поля — см. ниже, §§ 3, 4) может оказаться существенным.
Рассмотрим прежде всего простейшую ситуацию, когда случайное поле практически отсутствует. При этом, как мы знаем, хвосты плотности состояний не возникают, и, следовательно, в спектре поглощения должна наблюдаться четкая красная граница при со = Eg, opt/ft *). Будем также пренебрегать экситон-ными эффектами (последние рассматриваются ниже, в § 5,6).
Для вычисления электропроводности воспользуемся формулой (IV. 11.7). С учетом (IV. 11.13) мы получаем
Re (“) = Z ^ x
А/, A,"
X 6 (EK* — — Affl) I (A' | v | X") p. (1.5)
Очевидно, при со > О индексы X' и X" отвечают, соответственно,
состояниям в валентной зоне**) и в зоне проводимости. Как правило, с большим запасом выполняется неравенство
?g»7\ (1.6)
По этой причине в отсутствие инжекции носителей заряда можно считать
nF (?V) и 1, пР (?» = 0. (1.7)
В случае кристаллического полупроводника индексы X' и X" содержат квазиимпульсы электронов. При этом матричный элемент скорости может быть отличен от нуля лишь при сохранении квазиимпульса,' и формула (1.5) приводит к обычному выражению для коэффициента поглощения при прямых переходах [3]. С другой стороны, в отсутствие дальнего порядка компоненты квазиимпульса, как мы знаем, уже не являются хорошими квантовыми числами (этот факт не связан с наличием или отсутствием случайного поля). При этом уже нет оснований считать, что квадрат модуля матричного элемента | (Я'|v|X") |2 будет особенно велик или особенно мал при каких-то специаль-
*) В этой главе электрическая ширина запрещенной зоны не фигурирует. Поэтому в дальнейшем мы будем писать просто Eg вместо Eg, 0pt.
**) Для краткости и единообразия обозначений мы пользуемся «электронной» нормировкой энергии, говоря о валентной, а не о дырочной зоне. Хорошо известно, однако, что это не более чем способ выражаться, и фактически используемые нами понятия имеют точный многоэлектронный смысл.
284
ГЛ. V. МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ
ных значениях К' и К". По этой причине имеет смысл просто вынести этот матричный элемент за знак суммы, рассматривая его как некоторую постоянную С (Дж. Лэшер, Ф. Штерн, 1964). В сущности, этот прием есть не более чем применение теоремы
о среднем, оправданное в силу предполагаемой плавной зависимости матричного элемента скорости от %' и X". Заметим, однако, что при этом не учитывается возможная зависимость С от содержащегося в подынтегральном выражении параметра со. Далее, удобно ввести вспомогательное интегрирование по переменной Е, вводя одновременно множитель 6 (Еу — Е). Тогда равенство (1.5) с учетом (1.7) принимает вид
Re а(со) ~ ± \dE ? 6 (?г - Е) ? 6 (Е - Е%- - Йа>). (1.8)
г v
Здесь и в дальнейшем мы опускаем постоянный коэффициент, не влияющий на частотную зависимость электропроводности; соответственно знак равенства заменяется знаком пропорциональности. Сравнивая теперь правую часть (1.8) с выражением (1.6.11') для плотности состояний в данной зоне, получаем
Re а (») ~ -jj- ^ dEpc(E)pv(E — Йсо), (1.9)
где индексы v и с отвечают, соответственно, валентной зоне и зоне проводимости. Эта формула неоднократно использовалась для обработки ряда экспериментальных данных. Переменная интегрирования Е изменяется здесь (как ив (1.8)) в пределах, определяемых видом плотности состояний. Именно, по определению понятия «разрешенная зона» рс(Е)Ф§ при Е^ЕС, а рV(E — Н®)Ф0 при Е — Йсо ^LEV = EC — Eg*) (напомним, что мы пользуемся электронной нормировкой энергии: Ev есть верхний край валентной зоны). Таким образом,
