Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что величина проводимости, связанной с рассмотренным механизмом, как правило, очень мала из-за малости множителя e~v',l2T, особенно при низких температурах. По этой причине другой механизм — проводимость путем прямых перескоков пар — может оказаться конкурентоспособным. Этот механизм появляется лишь в следующем (g4) порядке теории возмущений, однако он не содержит активационного множителя. Перескок пары с одного узла на другой происходит через виртуальное состояние, отвечающее диссоциированной паре, в связи с чем и появляется энергетический знаменатель типа (Ет — Еп + Уо)~' Уо-1. Таким образом, вероятность перескока
пары пропорциональна g4/Vо.
§ 15. Проводимость неоднородных полупроводников
с крупномасштабными флуктуациями потенциала
Изложенная выше теория прыжковых явлений переноса относилась к условиям, когда основную роль играли перескоки между сильно локализованными состояниями, причем длина перескока намного превышала радиус локализации. Для локализованных состояний, близких к порогу локализации Ес, последнее условие может и не выполняться, поскольку при возрастает как радиус локализации, так и плотность соответствующих уровней. При этом радиус локализации может и превысить среднее расстояние между центрами. В таких условиях становятся неприменимыми представления об оптимальных путях перескоков и перколяционные соображения § 8, использованные для отыскания решения кинетического уравнения. ^
§ 15. ПРОВОДИМОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 273
С другой стороны, как мы видели в § II. 12, в полупроводнике со случайным полем возникает и плавное искривление зон, представляющее собой не что иное, как длинноволновую часть указанного поля. Иначе говоря, рассматриваемые материалы, будучи макроскопически однородными, оказываются все же неоднородными в масштабе «промежуточной» длины /0. Разумеется, роль этих неоднородностей может быть различной в зависимости от природы системы (в частности, от технологии приготовления образцов).
Плавные крупномасштабные флуктуации потенциала можно рассматривать классически, коль скоро вероятность туннельного прохождения электронов сквозь горбы потенциального рельефа мала, а потенциальные ямы содержат много электронных уровней*). При этом влияние случайного поля на энергетический спектр полупроводника, в соответствии с гл. II, можно описать, пользуясь картиной искривленных зон:
Ес, v(x) = E{?!v + Uc, 0(х). (15.1)
Здесь Е{с]v—края зон в полупроводнике в отсутствие флуктуаций случайного поля, a Uc,v(x) — потенциальная энергия электрона в случайном поле. По определению (см. § II. 7) среднее значение Uc, »(х) по макроскопическому объему равно нулю:
<?/„. „ (х)> = -1 J dx ?/„, 0 (х) = 0. (15.2)
Классическую задачу о возможности инфинитного движения электрона с заданной энергией в искривленной зоне называют континуальной задачей теории протекания. Очевидно, инфинит-ные траектории могут существовать лишь при достаточно больших энергиях, превышающих некоторое критическое значение ?<кл)> Оно называется классическим уровнем протекания для электронов (аналогично вводится и классический уровень протекания для дырок ?оКл)). Электрон с энергией Е > Е^л) имеет возможность либо пройти над «горбами» потенциального рельефа Ес(х), либо обойти их; при Е < Е{сЛ) движение электрона по классически доступным областям Е>Ес(х) финитно — классически доступные для электрона области изолированы друг от друга.
Величина ?сКЛ), вообще говоря, отлична от Ес'1 и зависит от размерности задачи d. В одномерной классической задаче (d=l) электрон может преодолеть потенциальный барьер, лишь если его энергия Е превышает высоту барьера, а возмож-
*) Подчеркнем, что, вообще говоря, возможность пренебрежения туннелированием сквозь случайный потенциальный рельеф отнюдь не очевидна.
274
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
ность инфинитного движения появляется, лишь если Е >¦ >шах{?'(х)}. Возможность обхода выступов потенциального рельефа появляется, начиная с двумерного случая (при d~^. 2)*). Ясно, что положение уровня протекания ?'сКл) зависит от характера рельефа, т. е. от статистических свойств случайного поля. При вычислении средних значений величин, зависящих только от локальных значений случайного поля, вместо функционального интегрирования (§ II. 7) можно воспользоваться обычным; при этом функционал &[U] превращается в функцию распределения случайной величины U. Например, доля всего объема, классически доступная для электрона с энергией Е, дается интегралом
v = \dxQ(E-Ec (х)) = J б U (х) 0 (Е - Ес (х)) & [U (х)] =
е~е\„0)
= J dU$>(U). (15.3)
-оо *
При заданных свойствах случайного поля величину (15.3) можно выбрать в качестве характеристики свойств классически доступной области. Именно, протекание в системе наступает при v >¦ vc, причем критическое значение vc, отвечающее порогу протекания, зависит от размерности пространства и от статистических свойств случайного поля.
