Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что континуальная задача протекания связана с решеточными задачами ([51], Приложение XI). Действительно, если ввести некоторую решетку с периодом, малым по сравнению с характерной длиной изменения случайного поля, и считать все узлы, попадающие в области Ес(х)<СЕ, «открытыми», а все узлы, лежащие в областях Ес(х)>Е, — «блокированными», то окажется, что протекание в системе возникает как раз при Е — ?сКл). При этом вероятность того, что узел «открыт», совпадает с вероятностью попадания его в классически доступную область. Согласно Приложению XI, для решеточных задач протекания с блокированными узлами пороговая величина разрешенного объема у<Реш>, связанного со сферами, описанными вокруг разрешенных узлов, в критической точке слабо зависит от типа решетки, а зависит лишь от размерности пространства ^у(реш) да 0,45 для d = 2 и и<Реш> 0,15 для d — 3). Именно с этим связано предположение о том, что и для континуальной задачи доля классически доступного объема в критической точке
*) Напомним, что при учете квантомеханических эффектов в одномерном случайном потенциале все состояния локализованы (см. § II. 1). Если так же обстоит дело и при d = 2, то задача требует особого рассмотрения.
5 15. ПРОВОДИМОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 275
будет той же, т. е. будет совпадать с соответствующим инвариантом решеточной задачи. Справедливость этого предположения непосредственно проверяется в двумерном случае, где для симметричной функции распределения —U) порог
?’сКЛ> определяется точно. Он просто равен невозмущенному краю зоны Ес0), поскольку в двумерном случае появление бесконечно протяженной области, где Е^Ес(х), сопровождается тем, что становится невозможным бесконечное перемещение по области Е^.Ес(х) (под рельефом). Единственная точка сосуществования протекания над и под рельефом есть?=?(с0), при этом доля классически доступного объема равна vc = 0,5. Последнее значение не очень сильно отличается от значения ^(реш) ^ 0,45, отвечающего решеточным задачам. Аналогично, в трехмерном случае можно принять, что vc « у(Реш> 0,15. Численный расчет для гауссова потенциала дал близкое значение = 0,17; величина vc может оказаться иной для негауссовой статистики (А. С. Скал, Б. И. Шкловский, A. JI. Эфрос, 1973).
Если в формуле (15.3) воспользоваться гауссовой статистикой, то мы непосредственно получим соотношение, определяющее положение классического порога протекания (Р. Заллен, X. Шер, 1971):
?<КЛ)_?(0)
С с
^ dU ехр (- и212-ф,)
-ОО
оо
^ dU ехр (— ?/2/2iJ>i)
I / р(°) _ /г(Кл) \
-------------=i(,-ertA_^). (15.4)
Отсюда следует, что
?<кл) = ?,0)_ (15.5)
где g— постоянная, определяемая из условия erf -4=-= 1 — 2vc
V2
(| > 0 при <0,5). Таким образом, в трехмерном случае наложение случайного поля сдвигает вниз границу, определяющую возможность инфинитного движения электронов. Повторяя аналогичные рассуждения для дырок, нетрудно найти, что классический уровень протекания для дырок л) лежит выше прежнего дна зоны Е{°\ В пренебрежении квантовыми эффектами (туннелированием сквозь горбы потенциального рельефа) порог локализации совпадает с классическим уровнем протекания. Соответственно в этом приближении электрическая ширина запрещенной зоны Eg, определяемая как разность порогов локализа-
276
ГЛ. IV. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
ции для электронов и для дырок, равна ?дКЛ> — Е^л). Это значение меньше величины Eg, opt == ?(с0) — Е{^ (Б. И. Шкловский,
1971). Величина Её, opt может проявляться как оптическая ширина запрещенной зоны при плавном одинаковом (Uc(x) = = Uv(x)) искривлении зон (см. гл. V). Вывод о различии между оптической и электрической шириной запрещенной зоны подтверждается экспериментально; это различие, в соответствии с (15.5), связано с величиной флуктуаций случайного потенциала.
Рис. 18. Каналы рекомбинации в неоднородном полупроводнике с плавным искривлением зон; и — квазиуровни Ферми для электронов и для
дырок.
Плавное искривление зон приводит к некоторым интересным особенностям, связанным с рекомбинацией неравновесных носителей в полупроводниках со случайным полем (Г. Фриче, 1971). Именно, если термализация неравновесных электронов и дырок в зонах происходит быстрее, нежели их рекомбинация, то неравновесные электроны в зоне проводимости скапливаются в минимумах потенциального рельефа (области типа А на рис. 18), а неравновесные дырки — в максимумах (области типа В). Таким образом, неравновесные электроны и дырки оказываются пространственно разделенными, что может сильно замедлить их рекомбинацию. Действительно, области пространства, где находятся дырки, отвечают горбам потенциального рельефа для электронов. Поэтому электроны могут попасть
§ 15. ПРОВОДИМОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ 277
туда, лишь обладая энергией, которая может заметно превышать уровень протекания. Таким образом, энергия активации рекомбинации через канал II на рис. 18 может превысить энергию активации проводимости, т. е. энергию, требуемую для заброса носителей на уровень протекания. Соответственно при низких температурах может наблюдаться «замороженная» фотопроводимость неравновесных носителей, сохраняющаяся длительное время.
