Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 20. Искривление зон случайным полем при Uс (х) Ф Uv (х). 1 — оптиче* ский переход в классическом приближении (возможен и при йсо < Eg).
типа представляет интерес, прежде всего, для теории сильно легированных полупроводников и халькогенидных стекол.
§ 2. Поглощение света в гладком гауссовом случайном поле
Рассмотрение междузонных переходов при наличии гладкого случайного поля удобно производить порознь для двух случаев, указанных в § 1:
А) ?/с(х) = ?/„(х) и Б) ?/е(х) #?/„(*)•
А) Одинаковое искривление зон*): Uc(\) — Uv(x)> Как Мы видели в § 1, в данном случае принципиально необходим учет квантовых поправок. Вычисление одночастичных функций Грина содержится в Приложении XII. Подставляя выражения (П. XII.25)— (П. XII.27) в формулу (1.14) и учитывая, что взятие мнимой части от Gr(R, f; to) Эквивалентно замене
оо +оо
i ^ ds(.. •)_>'Y S ds(...) в интегральном представлении
О —оо
(П.ХП.25), получаем для е2(со)
. ОО 00 оо
82 М = (2n)Za (5 \ dT \ d®' \ ds \ ds' \ dk S dk'x
» —00 — OO — CO
X [rtf (©' — cd) — nP (to')] exp {is [ha' Ec (k) — U (R)] +
+ ikr + Фс (R, r, k, s) + is' [hio' — ha — EB (k') - U (R)] -
______ - ik'r + Фо (R, - r, k', s')}). (2.1)
*) Так обстоит дело, например, в случае полей электростатической природы (мы употребляем термин «электростатическая» в узком смысле, исключая взаимодействие типа потенциала деформации).
290 гл. V. междузонные оптические переходы
Многократный интеграл в правой части (2.1) вычисляется следующим образом.
а) Возьмем интеграл по со', принимая во внимание условия
(1.7), в которых к' и к" относятся, соответственно, к валентной зоне и к зоне проводимости. В Приложении XIII доказывается, что в таких условиях
оо
^ da [tip (о/ — со) — Пр (со')] ехр [г (s -f s') ftw'] «= б (s -f s'). (2.2)
“ОО
Интеграл по s' в формуле (2.1) теперь легко берется. При этом сама потенциальная энергия ?/(R) вообще выпадает. В согласии с рассуждениями § 1, остаются лишь квантовые поправки, связанные с производными U(R) по координатам.
б) Выполним усреднение по случайному полю, т. е. вычислим выражение
Л = (ехр[фс(Я. г. k, s) + <P0(R> — г, к', — s)]). (2.3)
Удобно привести экспоненту к виду линейного дифференциального оператора, действующего на U(R). Это легко достигается путем введения вспомогательного интегрирования, линеаризующего квадратичный по градиенту случайного поля член в экспоненте в (2.3):
= _Ь^ех p{-^-(q, ехрsigns)}.
(2.4)
Мы объединили здесь слагаемые (VRt/)2 из фс и ф, в выражении (2.3) и ввели приведенную эффективную массу
J~ = ~L + _L. (2.5)
mr тс mv
Теперь легко выполнить усреднение с помощью формул
(II. 7.8), (II. 7.20) и (П.ХП.32). Оставляя, в духе принятого
приближения, лишь члены порядка до Й2 включительно, мы получаем
л = A (S)=[i + г4?гГ'2- <2-6>
Здесь 2г|)2/е2 — средний квадрат напряженности случайного поля (П.ХП.1). Заметим, что из формулы (2.6) выпал аргумент R, чего и следовало ожидать в макроскопически однородной системе.
§ 2. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ГЛАДКОМ ГАУССОВОМ ПОЛЕ
291
в) Подставим (2.3) в (2.1) и вычислим интегралы по R и по г. Первый из них дает просто множитель й и сокращается с таким же множителем в знаменателе (2.1).
Второй дает 6-функцию б (к — к'), после чего сразу вычисляется интеграл по к'. При этом используется соотношение
Ec(b)-Ev(b) = E8 + h2k2/2mr. (2.7)
Таким образом, находим окончательно
оо
, . 2е2Г Г , Г ,, ехр [- is (Е - Н(й + h2k2/2mr)\
е2 ((?>) =-------- \ ds \ dk -----1^------------------------. (2.8)
(2л)2 a2 J J (1 + «3А2г|з2/36тл)3/2
— оо
Заметим, что комплексную междузонную диэлектрическую проницаемость можно найти из формулы (2.8), заменяя интеграл
оо оо
^ ds(...) на 2г ^ ds (...). Действительно, легко убедиться, что
— оо О
определенная таким образом функция аналитична в верхней полуплоскости комплексной переменной со. Но тогда на действительной оси со действительная и мнимая части ее связаны соотношениями Крамерса — Кронига, чем и доказывается сделанное выше утверждение.
Рассмотрим асимптотическую область
S • (Ее — /гсо) 1, (2.9)
где
S = (П2^ф%тг)~т. (2.10)
Тогда равенство (2.8) дает экспоненциальный хвост коэффициента поглощения, простирающийся в запрещенную зону (В. Л. Бонч-Бруевич, 1970):