Метод функций Грина в статической механике - Бонч-Бруевич В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Величина ?Р(р)— доля узлов, принадлежащих бесконечному кластеру, — играет в задачах протекания ту же роль, что и параметр порядка в теории фазовых переходов: <?(р)== 0 ниже порога (при р < рс) и р) Ф 0 при р > рс. Вблизи порога, со-
гласно численным расчетам, поведение величины !?(р) может быть описано простым степенным законом [53]:
?(р)~(р-р/, (16.1)
где 0,3 ^ Р ^ 0,4. Величина р играет роль, аналогичную той, которую играет температура при фазовых переходах, а величина 3*(р) аналогична, например, намагниченности. Аналогию с тер-модинамическими системами можно развить и дальше, вводя для задач протекания функции, подобные свободной энергии, восприимчивости и т. д. Этой аналогией можно воспользоваться для описания критического поведения системы вблизи порога протекания. Именно, можно предположить, что и в задачах протекания поведение соответствующих величин описывается степенными функциями от р — рс, и ввести критические индексы.
Важную роль при изучении критического поведения играет корреляционная функция, вводимая для задач протекания по аналогии с теорией фазовых переходов [51]. В качестве примера рассмотрим задачу связей для регулярной решетки. Введем для любых двух узлов, расположенных в точках х и х', величину Д(х, х'), равную единице, если оба узла принадлежат одному и тому же конечному кластеру, и равную нулю в противном случае. Корреляционная функция G(x — х', р) может быть получена усреднением величины Д(х, х') по всем узлам или по ансамблю конфигураций связей при заданном х — х'; она характеризует средний размер кластеров конечных размеров при
280
ГЛ. IV, ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
заданном р. Из определения G(x— х', р) видно, что функция G(x— х', p)=G(\x—х'|,р) убывает при |х — х'|->оо; корреляционный радиус Lc определяет то характерное расстояние, на котором существенно убывает корреляционная функция. Как и в теории фазовых переходов, корреляционный радиус расходится при
Здесь v — критический показатель, который, согласно численным расчетам, близок к единице (v = 0,83-f- 1,00).
Для континуальных задач протекания роль величины р играет доля классически доступного пространства v (15.3), а роль параметра порядка — доля классически доступного пространства, занятого областью инфинитного движения. И в этом случае можно ввести корреляционную функцию и корреляционный радиус, расходящийся при приближении к порогу протекания vc. Еще один критический показатель характеризует поведение проводимости неоднородной системы в области Е > Ес. Если для простоты считать локальную проводимость в областях У(х)>? постоянной, а в областях V(x)<.E равной нулю, то в окрестности порога протекания
Здесь критический индекс t, согласно сказанному в § 15, отличается от критического индекса р, характеризующего поведение функции 3*(р). Подчеркнем, что в непосредственной окрестности порога протекания туннелирование сквозь классически недоступные области может привести к заметным отклонениям от формулы (16.3).
Отметим, что, как и в теории фазовых переходов, различные критические индексы оказываются связанными между собой рядом соотношений. Последние можно установить, пользуясь гипотезой масштабной инвариантности, согласно которой корреляционный радиус Lc есть наибольшая из характерных длин задачи и единственная длина, определяющая критическое поведение. Обоснование этой гипотезы и применение метода ренор-мализационной группы для задач протекания сталкиваются с трудностями, аналогичными тем, которые встречаются в теории фазовых переходов [55, 56].
Информация о критическом поведении корреляционного радиуса, проводимости, зависящей от энергии, и т. д. позволяет более полно описать свойства системы. В частности, в задаче о прыжковой проводимости вдоль тонких пленок знание крити-
ке ~ I Р — Рс l_v.
(16.2)
О (v) ~ (v — Vc)*.
(16.3)
§ 16*. КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ПРОТЕКАНИЯ 281
ческого поведения корреляционного радиуса позволяет описать размерные эффекты, возникающие в условиях, когда толщина образца до становится меньшей корреляционного радиуса Lc даже при до > rh (Б. И. Шкловский, 1975). Аналогичные эффекты могут иметь место и при изменении толщины проводящей области электрическим полем (И. П. Звягин, 1977). Более подробное рассмотрение эффектов, основанных на описании критического поведения характерных величин в задачах протекания, выходит, однако, за рамки этой книги.
Глава V
МЕЖДУЗОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ
§ 1. Общие соотношения. Роль случайного поля
Изучение междузонных оптических переходов в кристаллических полупроводниках принадлежит к числу важнейших методов исследования их зонной структуры. Выясним, какую информацию об энергетическом спектре вещества дают аналогичные опыты с неупорядоченными полупроводниками.
Как известно из электродинамики, коэффициент поглощения света в изотропной среде (или в кубическом кристалле) дается выражением
2со Г е, / е? Г 2зт fV/2
