Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 2.27 показаны примеры пар (Р2, К), не являющихся атомами.
Замечание. Ясно, что каждый атом ретрагирует-ся, стягивается на свой граф К.
Описанное в определении 2.9 разбиение колец на положительные и отрицательные можно делать двумя способами. Ясно, что положительные кольца можно переименовать в отрицательные, а отрицательные — в положительные. Если же разбиение фиксировать, то мы придем к понятию /-атома.
Определение 2.10. f-атомом называется атом из определения 2.9, для которого фиксиро-Рис 2 27 вано разбиение колец на положительные и от-
рицательные.
Ясно, что на /-атоме в определении 2.10 можно задать функцию Морса, для которой граф К будет ее критическим уровнем (например, нулевым), поверхность Р2 будет множеством точек х таких, что
-? < f{x) < +?.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
85
В частности, функция / будет положительна на положительных кольцах и отрицательна на отрицательных.
Определение 2.11. Вершинами атома называются вершины графа К, т.е. критические точки функции /. Число вершин атома называется его сложностью.
Мы будем обычно изображать атом какой-либо буквой, из которой выходят
и в которую входят некоторое количест- ______+
во ребер. Каждое ребро условно изобра-жает некоторое кольцо атома (см. выше).
Поскольку у каждого кольца есть ровно рис 2 28
одна граничная окружность, то естественно сказать, что у соответствующего ребра есть конец. Этот конец условно изображает граничную окружность кольца.
Определение 2.12. Концы этих ребер мы назовем концами атома, а их количество — валентностью атома. Если мы рассматриваем /-атом, то естественно возникает понятие положительных и отрицательных ребер, отвечающих положительным и отрицательным кольцам соответственно. Договоримся считать положительные ребра атома — выходящими, а отрицательные — входящими. Для удобства снабдим ребра атома стрелками (рис. 2.28), указывая эту их ориентацию.
Ясно, что стрелки на ребрах атомов показывают направление роста функции /.
Рассмотрим все граничные окружности атома и заклеим каждую их них 2-диском. Получится замкнутая поверхность Р2 без края.
Определение 2.13. Родом атома назовем^род поверхности Р2. Если Р2 — ориентируема, то это — число ручек, а если Р2 — неориентируема, то это — количество пленок Мебиуса. Атом называется плоским, если получившаяся поверхность Р2 является сферой.
Ю
с)
d)
Рис. 2.29
На рис. 2.29 показаны примеры.
а) Ориентируемые атомы А и В имеют род ноль, так как здесь Р2 сфера.
— это
86
Глава 2
b) Ориентируемый атом Ci имеет род, равный единице, так как здесь Р2 — это тор.
c) Неориентируемый атом В имеет род, равный единице, так как здесь Р2 — это проективная плоскость, т.е. сфера с одной пленкой Мебиуса.
d) Неориентируемый атом М имеет род два, так как здесь Р2 — это бутылка Клейна, т.е. сфера с двумя пленками Мебиуса.
Зная атом, легко найти его род. Ясно, что достаточно найти эйлерову характеристику поверхности Р2.
Предложение 2.1. Эйлерова характеристиках поверхности Р2 вычисляется по атому так: V — Е + R, где V = число вершин атома, Е = число ребер графа К, R = число колец атома.
Доказательство. _
Граф К очевидно задает клеточное разбиение поверхности Р2. Поэтому число V — E + R совпадает с альтернированной суммой количества 0-мерных, 1-мерных и 2-мерных клеток. Предложение доказано. ¦
2.7. Классификация атомов
2.7.1. Склейка атомов из крестов
Атомы бывают двух сортов: атомы типа А и седловые атомы. Атомы первого типа изоморфны между собой. Если мы сразу рассматриваем атом как класс эквивалентности, то лучше сказать, что атом А — только один. Поэтому проблема классификации атомов актуальна, в действительности, для седловых атомов. Начиная с этого момента мы будем говорить лишь о седловых атомах, называя их просто атомами, если не оговорено противное.
Как мы сейчас покажем, атомы допускают довольно красивую классификацию. Мы предъявим алгоритм, выписывающий полный список всех атомов. Затем мы укажем алгоритм, позволяющий сравнивать любые два атома и отвечать на вопрос: эквивалентны они или нет. Отметим, что классификация атомов — задача не вполне тривиальная. В самом деле, атом — это пара: поверхность с вложенным в нее графом. Рассмотрим сначала более общую задачу, когда на граф L вложенный в поверхность, никаких ограничений не наложено. Пусть даны две такие пары: (Р2, L) и (Р/2, V). Как выяснить — существует ли гомеоморфизм, переводящий Р в Р' и L в I/? Эта более общая задача алгоритмически разрешима. Хотя выяснение вопроса: существует ли искомый гомеоморфизм или нет, для каждой конкретной пары поверхностей с графами может быть весьма громоздкой процедурой. В нашем же случае есть облегчающее обстоятельство, состоящее в том, что граф К, вложенный в поверхность Р, обладает дополнительными свойствами. В частности, нам известно, что дополнение к графу L в поверхности Р состоит из колец.
