Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 36

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 193 >> Следующая


Доказательство получается несложным перебором простых молекул. ¦

Отношение послойной эквивалентности можно усилить следующим образом. Две функции Морса / и g на поверхности М называются топологически эквивалентными, если существует диффеоморфизм ?:М —> М и г]:Ш —»• М, такой, что /(?(ж)) = i](g(x)). Будем считать, что диффеоморфизм i] вещественной прямой на себя сохраняет ориентацию.

Отличие топологической эквивалентности и послойной эквивалентности состоит в следующем. Пусть какая-то линия уровня функции Морса состоит из нескольких компонент связности. При послойной эквивалентности эти компоненты могут «разьехаться» на разные уровни функции Морса. В то же время, при топологической эквивалентности, все эти компоненты обязаны оставаться на одном и том же уровне (хотя соответствующее критическое значение этого уровня может конечно измениться). В частности, при изучении топологической эквивалентности можно считать, что все критические уровни функции Морса естественно упорядочены (по их возрастанию). Важно, что этот порядок не меняется при топологической эквивалентности функций Морса. Поэтому классов топологической эквивалентности функций Морса больше чем классов послойной эквивалентности. Мы приведем здесь теорему, полученную Е. В. Кулиничем.

Теорема 2.6. Число классов топологически неэквивалентных функций Морса на замкнутой ориентированной поверхности рода g равно:

1 для сферы (т. е. g=0),

1 для тора (т. е. g= V,

3 для кренделя (т. е. g=V,

31 для сферы с тремя ручками (т. е. g = V,

778 для сферы с четырьмя ручками (т.е. g= 4Л 37998 для сферы с пятью ручками (т.е. g= 5Л 3171619 для сферы с шестью ручками (т. е. g=6)-

Все графы Риба, отвечающие функциям Морса указанного вида на торе, кренделе и на сфере с тремя ручками, показаны на рис. 2.23(а, Ь, с). На этом рисунке учитывается взаимное расположение седловых критических уровней функции Морса. Критическая точка, отвечающая большему критическому значению функции, изображена выше, чем критические точки с меньшим критическим значением. На рис. 2.23 обведены пунктиром те графы Риба, которые попадают в один класс послойной эквивалентности функций Морса. В результате вычеркивания дубликатов из рис. 2.23, получается рис. 2.22.
82

Глава 2

Сфера g = 0

Z=1

Крендель, g = 2

Z=3

a)

Рис. 2.22

X=3 Крендель

a)

Рис. 2.23
Топология слоений, порождаемых функциями Морса

83

2.6. Сложные атомы

Напомним, что атом называется сложным, если на критическом связном уровне функции / расположено более одной критической точки. Такие объекты естественно возникают во многих задачах геометрии и физики. Приведем пример. Пусть на поверхности X2 гладко действует конечная группа G и пусть / — некоторая функция Морса, инвариантная относительно G. Тогда, как правило, такая функция будет сложной. В самом деле, если, например, орбита некоторой критической точки х целиком лежит внутри одной компоненты связности линии уровня /(ж) = const, то на этом уровне окажется несколько различных критических точек функции. Простой пример показан на рис. 2.24. Здесь функция высоты инвариантна относительно группы Z5. Связный критический уровень, содержащий 5 критических точек, также показан на рис. 2.24. Конечно, малым возмущением функции можно превратить ее в простую функцию Морса, т.е. развести критические точки на разные уровни. Однако это разрушает Жб-симметрию. Это видно из рис. 2.25. Таким образом, в задачах, требующих изучения разного рода симметрий, приходится исследовать сложные функции Морса как самостоятельные объекты.

Рис. 2.24

Как мы покажем ниже, сложные функции Морса естественно возникают также при классификации потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях.

Основным представлением сложного атома является задание его в виде трубчатой окрестности критического уровня функции Морса, на котором лежит несколько критических точек.

Атом реализуется как двумерная поверхность, состоящая из плоских крестов и соединяющих их концы длинных узких лент, как условно показано на рис. 2.26. Поэтому можно дать другое, эквивалентное геометрическое определение атома.

Определение 2.9. Атомом называется пара (Р2, К), где Р2 — связная компактная двумерная поверхность с краем, ориентируемая или неориентируемая, а К — связный граф в ней такой, что выполняются следующие условия.
84

Глава 2

Рис. 2.26

1) Либо К состоит только из одной точки, т.е. изолированной вершины степени ноль, либо все вершины графа К имеют степень 4.

2) Каждая связная компонента множества Р2 — К гомеоморфна кольцу S1 х х (0,1] и множество этих колец можно разбить на два класса — положительные кольца и отрицательные кольца так, чтобы:

3) к каждому ребру графа К примыкало ровно одно положительное кольцо и ровно одно отрицательное кольцо.

Мы будем рассматривать атомы с точностью до естественной эквивалентности: два атома (Р2, К) и (Р'2, К') эквивалентны, если существует гомеоморфизм, переводящий Р'2 в Р2, и К’ в К.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed