Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Описанный алгоритм, конечно, достаточно прост и естественен, однако ввиду требующегося здесь большого перебора, он недостаточно эффективен. И причина этого ясна. Мы опирались здесь на задание атома в виде склейки крестов. Этот способ хотя и нагляден, но, как было только что показано, ведет к большому перебору при решении задач распознавания. Поэтому остается актуальной задача построения более эффективного алгоритма. Это можно сделать, и в следующем пункте мы его опишем.
2.7.4. Задание атома в виде /-графа
Излагаемая ниже полезная переформулировка понятия атома принадлежит А. А. Ошемкову. См. [155].
Начнем с определения абстрактного графа Г, а потом объясним — как он связан с атомом.
Определение 2.14. Конечный связный граф Г назовем f-графом, если он удовлетворяет следующим условиям:
1) Все вершины графа Г имеют степень 3.
2) Некоторые из ребер графа Г ориентированы, причем к каждой вершине графа Г примыкает ровно два ориентированных ребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее. Причем эта вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного ребра, если ориентированное ребро является петлей.
3) Каждому неориентированному ребру графа Г приписано число ±1.
Замечание. Отметим, что /-граф Г не предполагается вложенным в какую-либо поверхность. Это — дискретный объект, который можно полностью задать, например, в виде списка ориентированных ребер (i,j) и неориентированных ребер (k, I, е), где г, j, к, I — номера вершин графа Г, а е = ±1 — метка, приписанная неориентированному ребру.
Из условия 2 в определении /-графа следует, что его ориентированные ребра образуют непересекающиеся ориентированные циклы. Кроме того, к каждой вершине такого цикла примыкает ровно одно неориентированное ребро.
Введенный выше /-граф можно описать еще и так.
Рассмотрим набор непересекающихся ориентированных окружностей. Выделим на них произвольным образом четное число точек, разобьем это множество
90
Глава 2
на пары произвольным образом, и соединим получившиеся пары точек неориентированными отрезками (рис. 2.31). Это и есть /-граф.
Определение 2.15. Назовем два /-графа эквивалентными, если один из другого можно получить последовательностью следующих операций. Разрешается заменять ориентации всех ребер какого-то цикла и одновременно изменять метки на всех неориентированных ребрах, инцидентных этому циклу, на противоположные. Если оба конца неориентированного ребра принадлежат данному циклу, то метка на этом ребре не меняется. Классы эквивалентности /-графов назовем /-инвариантами.
Оказывается, существует взаимно-однозначное соответствие между /-инвариантами и /-атомами, введенными выше.
Опишем это соответствие в явном виде.
Пусть дан /-атом. Рассмотрим соответствующую ему функцию Морса g. Рассмотрим сепаратрисы этой функции, идущие с границы отрицательных колец в критические точки функции g, т.е. входящие в вершины графа К (рис. 2.32). Каждая пара входящих в вершину сепаратрис образует неориентируемое ребро /-графа Г. Вершинами графа Г будут концы сепаратрис, лежащие на границах отрицательных колец, т.е. на отрицательных концах /-атома. Фиксировав произвольным образом ориентацию на каждой граничной окружности отрицательных колец /-атома, мы получим ориентированные ребра /-графа Г. Пояснение: эти ориентированные ребра являются попросту дугами ориентированных граничных окружностей, заключенными между концами сепаратрис.
+/
d)
Рис. 2.32
Для завершения построения /-графа осталось лишь расставить метки на неориентированных ребрах. Это делается по следующему правилу. Рассмотрим малую окрестность неориентированного ребра в поверхности Р2. Это — прямоугольник, две противоположные стороны которого лежат на граничных окружностях отрицательных колец, и потому — ориентированы. Если эти стороны прямоугольника индуцируют одну и ту же ориентацию границы прямоугольника, то ставим метку е — +1. Если же ориентации противоположны, то ставим метку е = —1.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
91
Поясним, что в действительности прямоугольник, описанный выше, является ручкой, приклеивающейся к отрицательным окружностям атома при переходе через критическое значение функции /.
Поясним рис. 2.32. На рис. 2.32(a) изображен исходный /-атом, т.е. — поверхность Р2 с вложенным в нее графом К. Положительные кольца /-атома заштрихованы.
На рис. 2.32(b) выделены границы отрицательных колец с выбранной на них ориентацией. Указаны сепаратрисы, входящие в критические точки.
На рис. 2.32(c) изображены границы отрицательных колец (= ориентированные ребра /-графа), сепаратрисы (= неориентированные ребра /-графа), и окрестности сепаратрис, позволяющие определить метки на неориентированных ребрах.
