Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Докажем, что в том случае, когда Н — подгруппа конечного индекса и без элементов конечного порядка, то получается некоторый /-граф. В самом деле, построенный граф является конечным и не содержит неориентированных петель. Ясно также, что каждая вершина построенного графа имеет степень три. Причем, к ней примыкает одно неориентированное и два ориентированных ребра:
96
Глава 2
входящее и выходящее. Эти два ориентированных ребра могут, впрочем, иногда совпадать, образуя ориентированную петлю. Осталось доказать, что построенный /-граф не зависит от выбора подгруппы Н в классе ее сопряженности. Действительно, если заменить исходную подгруппу Н на сопряженную ей подгруппу Н' = gHg-1, то указанные выше соотношения Ха = Y и Xb = Y будут выполнены для правых смежных классов X' = gX и Y' = gY по подгруппе Н', потому что Н'g = gH.
Теорема доказана. ¦
Комментарий. Другое объяснение этой конструкции мы приведем в пункте 2.8.
Следствие. Отображение S устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством /-графов без меток и множеством классов сопряженных свободных подгрупп в группе Ъ * Z2, имеющих конечный индекс.
2.7.6. Изображение атомов в виде погружений графов в плоскость
Напомним классическую теорему двумерной топологии.
Теорема 2.9.
а) Любой ориентированный атом (Р, К) допускает гладкое погружение в сферу, а потому и в плоскость, с сохранением ориентации.
б) Любые два таких погружения одного и того же атома в сферу можно перевести друг в друга посредством гладкой изотопии и операции развязывания петель, показанной на рис. 2.35.
Доказательство.
а) Каждый атом можно представить в виде набора крестов, концы которых соединены узкими лентами. Каждый крест по отдельности, очевидно, вкладывается в 2-сферу. Осталось погрузить связывающие их ленты-полоски. Поскольку поверхность предположена ориентируемой, это также очевидно.
б) Пусть теперь даны два погружения. Чтобы перевести одно в другое, нужно сначала рассмотреть их кресты. Ясно, что два вложения набора крестов совмещаются в сфере посредством гладкой изотопии, причем даже без самопересечений,
а)
Ъ)
Рис. 2.35
Рис. 2.36
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
97
поскольку кресты можно сделать достаточно маленькими. Осталось совместить погружения соединяющих их узких лент. Поскольку концы лент, будучи приклеены к крестам, уже совмещены, то разрешая развязывание петель (рис. 2.35), мы очевидно можем перевести друг в друга погружения лент. Теорема доказана. ¦
Эта теорема дает возможность наглядного изображения атомов на плоскости. Каждое такое погружение атома в плоскость однозначно восстанавливается по погружению в сферу графа К. Дело в том, что погружение атома является трубчатой окрестностью погружения графа К (рис. 2.36).
Впрочем, отметим, что можно ограничиться рассмотрением лишь погружений графа в плоскость. Дело в том, что протаскивание петли через бесконечность эквивалентно созданию двух петель на ребре, а петли мы имеем право устранять.
2.7.7. Атомы как клеточные разбиения двумерных замкнутых поверхностей
Оказывается, классификация атомов в точности эквивалентна классификации всевозможных конечных клеточных разбиений двумерных замкнутых поверхностей. Напомним, что клеточным разбиением поверхности называется ее представление в виде объединения конечного числа двумерных, одномерных и нульмерных клеток. Эквивалентным образом можно считать, что клеточное разбиение поверхности взаимно-однозначно, с точностью до гомеоморфизма, задается вложением некоторого конечного графа в эту поверхность, разбивающего ее на открытые диски. При таком подходе граф является попросту одномерным остовом клеточного разбиения, т.е. объединением нульмерных и одномерных клеток разбиения.
Как здесь возникает атом? Верно следующее Предложение. Существует взаимно-однознач-ное соответствие между /-атомами и клеточными разбиениями двумерных замкнутых поверхностей. Или, что эквивалентно, — между f-атомами и вложениями графов в двумерные замкнутые поверхности. При этом все эти объекты рассматриваются с точностью до гомеоморфизма.
Доказательство.
Это предложение доказывается очень просто. В самом деле, возьмем произвольное конечное клеточное разбиение поверхности и построим по нему атом. Для этого соединим середины соседних одномерных ребер данного клеточного разбиения, сходящихся в одной вершине. Делаем это для каждой вершины. См. рис. 2.37. В результате возникает одномерный граф К. Очевидно, что все его вершины (белые точки на рис. 2.37) имеют крат-
98
Глава 2
ность 4. Это и есть скелет конструируемого нами атома. Осталось взять малую трубчатую окрестность графа К в поверхности. Получается атом. Чтобы операция была однозначна, нужно сделать одно дополнительное замечание. Двумерные кольца у атома, возникшие на предыдущем шаге, очевидно разбиваются на два класса. Первый класс — кольца, целиком лежащие внутри двумерных клеток исходного клеточного разбиения. Назовем их, скажем, положительными кольцами атома. Второй класс — кольца, окружающие вершины исходного клеточного разбиения. Их нужно назвать отрицательными. В результате мы получаем уже не просто атом, а /-атом. Итак, по каждому клеточному разбиению однозначно строится некоторый /-атом.
