Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 2.32(d) изображен результат построения — получившийся /-граф. Он является представителем /-инварианта.
Итак, мы построили по данному /-атому некоторый /-граф. В процессе построения мы произвольным образом фиксировали ориентации на граничных окружностях отрицательных колец. Однако легко понять, что при выборе другой ориентации мы получим эквивалентный /-граф. Таким образом, корректно определено отображение j3 множества /-атомов в множество /-инвариантов.
Теорема 2.7. Отображение [3 устанавливает естественное взаимно-однозначное соответствие между множеством всех /-атомов и множеством всех /-инвариантов.
Доказательство.
Для доказательство взаимной однозначности отображения j3 построим в явном виде отображение /?-1 множества /-инвариантов в множество /-атомов. Рассмотрим сначала /-атом. Если удалить из поверхности /-атома все входящие и выходящие сепаратрисы соответствующей атому простой функции Морса, то эта поверхность распадется на 6-угольники следующего вида: две противоположные стороны этого 6-угольника являются отрезками граничных окружностей колец, одного положительного и одного отрицательного. Параллельная им диагональ — это ребро графа Г исходного /-атома. Каждая из оставшихся двух пар сторон 6-угольника составлена из двух сепаратрис — входящей и выходящей. См. рис. 2.33.
Оказывается, что /-граф содержит полную информацию о том, как нужно склеить полученные 6-угольники, чтобы получить исходный /-атом. Построение /-атома по правилу склейки, задаваемому /-графом, и будет искомым отображением /?-1. Пример такой процедуры приведен на рис. 2.34. Слева изображен /-граф с занумерованными ребрами, справа — процесс склейки соответствующего /-атома. Дадим формальное описание этой конструкции.
Пусть дан /-граф. Занумеруем его ориентированные ребра числами от 1 до п. Возьмем п штук 6-угольников указанного выше вида. Зададим ориентацию на границе каждого 6-угольника и обозначим ориентированные отрезки, составляющие его границу, через af, pf, qf, где г — номер ориентированного ребра /-графа (см. рис. 2.33(b)). Процесс склейки /-атома происходит в два этапа. Сначала мы для каждой вершины /-графа склеиваем отрезок р^ с отрез-
92
Глава 2
=>
г > х" ^ -
ШЗ) аиптщ
а)
Рис. 2.33
Ъ)
*/
<Z>
3
ki>
Р
?гРг ЁР$
?>/ *№
Рис. 2.34
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
93
ком qj , если i-e ребро входит в эту вершину, a j-e ребро выходит из нее, причем направление отрезков рт и qj при склейке противоположны. После этой операции мы получим набор колец, у которых одна граница составлена из отрезков вида , а другая имеет вид
...afgfptotg+p+o+... ,
причем граничные отрезки согласованно ориентированы. На втором шаге мы склеиваем эти кольца по отрезкам qf Pj - Правило склейки следующее.
1) Отрезок qfpj склеивается с отрезком qkp^, если существует неориентированное ребро /-графа, соединяющее вершину, являющуюся концом j-го ребра и началом г-го ребра, с вершиной, являющейся концом m-го ребра и началом к-го ребра.
2) Если метка на этом неориентированном ребре равна +1, то направления склеиваемых отрезков qfpj и q^p^ противоположны. Если же метка на этом ребре равна —1, то направления склеиваемых отрезков qf Pj и qkp^ согласованы.
Мы описали алгоритм построения по данному /-графу некоторого /-атома. Легко проверить, что взяв эквивалентные /-графы, мы получим эквивалентные /-атомы. Таким образом, построено отображение множества /-инвариантов в множество /-атомов. Из построения видно, что это отображение действительно обратно к отображению (3. Теорема доказана. ¦
Итак, /-атомы кодируются графами определенного вида, алгоритмическое перечисление которых не представляет труда. Тем самым, в теории атомов можно заменить пару (Р, К) = (поверхность, граф) одним графом специального вида.
Важное замечание. Подчеркнем, что множество всех /-графов, и соответствующих им /-инвариантов, легко и алгоритмически описывается. Это — все те графы, которые удовлетворяют условиям 1-3, указанным выше в определении 2.14, причем метки е на различных неориентированных ребрах принимают значения ±1 независимо друг от друга. Другими словами, любой /-граф реализуется как /-инвариант для некоторой функции Морса.
2.7.5. Задание ориентированного атома в виде некоторой подгруппы в группе Z * Z2
Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь ориентированных атомов.
Определение 2.16. Мы назовем /-атом ориентированным, если соответствующая ему поверхность Р ориентирована. При этом мы будем считать, что ориентация на поверхности не только задана, но и фиксирована.
94
Глава 2
Комментарий. Каждый /-атом является классом оснащенной эквивалентности пар (Р, /). Для ориентированного /-атома требуется, чтобы диффеоморфизмы, связывающие между собой эквивалентные пары, сохраняли ориентацию поверхности Р, на которой ориентация предполагается заданной и фиксированной.
