Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Будем пока рассматривать лишь ориентируемые атомы.
Если рассматривать атом V как пару (Р2, К), то естественно было бы определить симметрию атома V как гомеоморфизм пары (Р2, К) на себя. Однако группа всех таких гомеоморфизмов очень большая. Более интересна дискретная группа симметрий атома, которая получается при факторизации группы всех гомеоморфизмов пары (Р2, К) по подгруппе гомеоморфизмов, изотопных тождественному. Поэтому в дальнейшем, говоря о симметриях атомов, мы всегда будем подразумевать, что гомеоморфизмы пары (Р2, К) рассматриваются с точностью до изотопии, т. е., по определению, симметрия атома есть класс эквивалентности изотопных гомеоморфизмов пары (Р2, К) на себя.
Обозначим через Sym(F) группу собственных симметрий атома V = (Р2,К), то есть группу симметрий, сохраняющих ориентацию поверхности Р2, а также сохраняющих разбиение поверхности Р2 на положительные и отрицательные кольца. Отметим, что это определение не зависит от того — каким именно образом выбирается ориентация на Р2, и каким образом Р2 разбита на положительные и отрицательные кольца.
Обозначим далее через Sym(F) группу всех симметрий атома V. То есть как сохраняющих, так и меняющих ориентацию поверхности Р2. Однако разбиение поверхности Р2 на положительные и отрицательные кольца сохраняется.
Предложение 2.3. Если ориентированный атом V является зеркальным, то группа Sym(F) является подгруппой индекса 2 в группе Sym(F). Если же атом V зеркальным не является, то эти группы совпадают: Sym(F) = Sym(F). В частности, порядок группы Sym(F) всегда либо равен порядку группы Sym(F), либо в два раза больше его.
Доказательство сразу вытекает из определения зеркальности и определений обеих групп. ¦
Сконцентрируем пока наше внимание на изучении группы собственных симметрий Sym(F). Рассмотрим теперь симметрии /-графов.
Определение 2.18. Будем говорить, что /-граф Гх отображается на /-граф Г2, если задано их отображение как абстрактных графов, то есть вершины переходят
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
101
в вершины, а ребра — в ребра. При этом отображение переводит неориентированные ребра в неориентированные, а ориентированные — в ориентированные, но возможно с одновременным обращением их ориентации, то есть сразу на всех ориентированных ребрах.
Определение 2.19. Назовем собственной симметрией /-графа Г его изоморфизм на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с сохранением их ориентации. Обозначим группу всех собственных симметрий /-графа Г через Sym(r). Далее, назовем несобственной симметрией /-графа Г его изоморфизм на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с одновременным изменением ориентации всех таких ребер. То есть, каждое ориентированное ребро переходит в некоторое другое ориентированное ребро, но обязательно с противоположной ориентацией. Множество всех собственных и несобственных симметрий /-графа Г назовем полной группой симметрий данного /-графа и обозначим через Sym(r).
Предложение 2.4. Пусть V — некоторый ориентированный атом, а Г — соответствующий ему f-граф. Тогда группа Sym(F) изоморфна группе Sym(r), а группа Sym(F) изоморфна группе Sym(r).
Доказательство сразу вытекает из процедуры построения /-графа по атому V. Дело в том, что для ориентированных атомов эта процедура дает нам /-граф без меток. См. об этом выше. ¦
Таким образом, изучать симметрии атомов V теперь можно на языке /-графов. То есть, вычисляя группы симметрий /-графов, мы описываем группы симметрий атомов V. Для атомов V малой сложности все группы симметрий перечислены в таблице, приведенной в главе 3.
2.8.2. Универсальное накрывающее дерево над /-графами, /-граф как фактор-пространство универсального дерева
Рассмотрим произвольный /-граф Г. Если рассмотреть его как топологическое пространство, то над ним можно рассмотреть всевозможные накрытия. При этом можно считать, что накрывающее пространство Г также является /-графом. Действительно, на накрывающем пространстве Г можно единственным образом расставить стрелки так, чтобы проекция накрытия была отображением /-графов в смысле определения 2.18. Отметим, что «наверху» нужно ориентировать те ребра, которые накрывают ориентированные ребра базы Г.
Теорема 2.10.
а) Для каждого /-графа Г существует единственное универсальное накрывающее пространство D, являющееся бесконечным /-графом. Причем, этот универсальный f-граф один и тот же для всех /-графов. Другими словами, универсальные накрытия над любыми двумя /-графами изоморфны как бесконечные /-графы.
102
Глава 2
б) Этот универсальный f-граф является бесконечным деревом D с вершинами степени три (рис. 2.38,). С каждой вершиной инцидентно одно неориентированное ребро, одно входящее ориентированное ребро и одно выходящее ориентированное ребро.
в) Группа собственных симметрий Sym(D) универсального f-графа D изоморфна группе Z * Z2. Ее действие устроено так. Пусть ж0 — отмеченная вершина дерева D. Тогда образующая Ъ бесконечного порядка в группе Z *Z2 переводит вершину хо в другой конец единственного ориентированного ребра, выходящего из вершины ж0- Образующая а второго порядка в группе Z*Z2 переводит вершину хо в другой конец неориентированного ребра, инцидентного с вершиной xq. После этого действие образующих а и Ъ на всех других вершинах х дерева D определяется уже однозначно.
