Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
В одну сторону это утверждение уже доказано выше, а именно, из свобод-ности действия следует, что нет элементов второго порядка. Обратно, нужно проверить, что если нет элементов второго порядка, то действие свободное. Допустим противное, что для какой-то нетривиальной симметрии нашлась неподвижная точка. Тогда она может быть только серединой неориентированного ребра. Поскольку неподвижность любой другой точки очевидно влечет за собой тождественность всего преобразования. Дело в том, что тогда обязательно найдется неподвижная вершина дерева. Пусть теперь середина какого-то неориентированного ребра е является неподвижной точкой некоторой симметрии h. Тогда эта симметрия h обязательно имеет вид gag-1, где g — элемент группы Z * Z2, переводящий отмеченную точку х$ в один из концов ребра е. В самом деле, легко проверить, что преобразование gag-1 оставляет на месте середину ребра е. Тогда оно должно совпадать с h на концах ребра е, а следовательно, совпадает с ним всюду. То есть h = gag-1. Тем самым, предложение доказано.
2.8.3. Соответствие между /-графами и подгруппами в группе Z * Z2
Напомним, что мы рассматриваем для простоты пока лишь ориентированные атомы V.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
105
Теорема 2.11.
а) Каждой свободной подгруппе G конечного индекса к в группе Z * Z2, — т. е. не содержащей элементов конечного порядка, — соответствует конечный f-граф Г = Г(С?) с к вершинами и имеющий вид Г = D/G. При этом r(G'i) = Г((?2) тогда и только тогда, когда подгруппы G\ и G2 сопряжены в группе Z * Z2. Другими словами, имеется взаимно-однозначное соответствие между f-графами без меток и классами сопряженности свободных подгрупп конечного индекса в группе Z * Z2, то есть подгрупп, не содержащих элементов конечного порядка.
б) Группа Sym(r(G')) собственных симметрий f-графа Г((?) изоморфна фактор-группе N(G)/G, где N(G) — нормализатор подгруппы G в группе Z *Z2 (то есть N(G) = {h е Z * Z2: hGh-1 = G}).
в) Порядок группы собственных симметрий Sym(r(G')) всегда не превосходит числа вершин графа Г . Это число равно индексу подгруппы G в группе Z*Z2. Порядок группы всех симметрий Sym(r(G')) всегда не превосходит удвоенного количества вершин графа Г .
Доказательство.
а) В одну сторону утверждение очевидно. Осталось доказать, что если r(G'i) = Г(С?2), то подгруппы G\ и (?2 сопряжены. Это следует из того, что любой гомеоморфизм базы универсального накрытия всегда поднимается до гомеоморфизма универсального накрытия на себя. Поэтому при отображении базы на себя слой накрытия переходит в слой накрытия над образом точки. Соединяя точку базы с ее образом непрерывным путем на базе, перемещаем вдоль него слой накрытия и получаем требуемое сопряжение подгрупп.
б) Каждая симметрия /-графа, то есть базы универсального накрытия Г = D/G, поднимается наверх до отображения дерева D на себя. Все такие поднятые отображения должны сохранять исходное накрытие. Следовательно, они имеют вид hGh-1, где h пробегает всю группу Z * Z2.
в) Это утверждение фактически следует из пунктов (а) и (б). В самом деле, из пункта (б) следует, что порядок группы симметрий Sym(r(G')) есть индекс подгруппы G в нормализаторе N(G). Поскольку N(G) лежит в группе Z * Z2, следовательно порядок группы симметрий не больше чем число вершин графа Г , которое равно индексу подгруппы G в группе Z * Z2.
Теорема доказана. ¦
Подведем итог. Итак, если G — произвольная подгруппа в Z * Z2 конечного индекса и без элементов конечного порядка, то можно рассмотреть ее действие на графе D. Фактор-пространство этого действия и является тем самым /-графом Г, который был построен выше как /-граф, отвечающий классу сопряженности данной подгруппы G.
Отметим, что соответствующая проекция графа D на граф Г является универсальным накрытием для графа Г, так как в подгруппе D нет элементов конечного порядка. Их отсутствие и гарантирует свободность действия группы G
106
Глава 2
на D. В частности, отсюда следует, что группа G является фундаментальной группой графа Г и атома V. В частности, она свободна, как фундаментальная группа одномерного пространства.
2.8.4. Граф J. Группы симметрий /-графа и его связь с самим /-графом. Максимально симметричные /-графы
Напомним определение графа конечно-порожденной абстрактной группы S. Выберем в группе S какую-нибудь систему образующих si, s2, ... , sn. Эта система образующих не обязана быть минимальной. Например, какой-то из элементов Sk может выражаться через остальные.
В качестве вершин графа J = Js возьмем теперь все элементы группы S. Соединим ориентированным ребром с меткой s* те пары элементов g и h группы S, для которых g = hsi, то есть элемент g получается из элемента h сдвигом на образующую s*, то есть умножением справа. Стрелку на ребре направляем от элемента h к элементу g. Отметим, что граф J группы конечно зависит от выбора образующих. Разным системам образующих отвечают, вообще говоря, разные графы. На рис. 2.42 показаны примеры графов J группы Z6, получающиеся при разном выборе образующих в ней. В первом случае взята одна образующая ж, а в другом — две образующие ж2 и ж3. Если образующая s* имеет порядок два, то формально для каждой пары элементов, переходящих друг в друга при умножении на s*, мы должны были бы рисовать два ориентированных ребра, ориентированные в прямом и обратном направлениях. Вместо этого мы будем рисовать одно ребро, но — неориентированное. В частности, на рис. 2.42 неориентированные ребра графа J группы, отвечающие элементу второго порядка ж3, изображены пунктиром.
