Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом, если в группе задана некоторая подгруппа, то можно нарисовать граф J множества смежных классов группы относительно этой подгруппы. Конструкция конечно та же самая, но только вершины графа J соответствуют здесь смежным классам по заданной подгруппе. Тогда определенный выше граф J группы получается из такого графа, если в качестве подгруппы взять единичную подгруппу.
Предложение 2.7. f-граф Г((?) является графом J множества смежных классов группы Z * Z2 по подгруппе G. При этом ориентированные ребра графа J отвечают образующей Ь бесконечного порядка группы Z*Z2, то есть группы Z(6)*Z2(a), а неориентированные ребра графа J отвечают образующей а второго порядка. Доказательство.
Граф J группы Z (b) *Z2(а) фактически уже был изображен нами выше на
Рис. 2.42
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
107
рис. 2.39. В качестве единицы группы можно взять точку, отмеченную жо на рис. 2.39. С другой стороны, этот граф является деревом D. Если дерево рассматривать как группу Z * Z2, то симметрии дерева получаются как свободное действие группы Z(6) * Z2(а) на себе при умножении справа. Тогда становится понятным, что орбиты действия подгруппы G на дереве D, — то есть вершины графа Г((7), — соответствуют смежным классам группы Z(6) *Z2(a) по подгруппе G. При этом две такие вершины, т.е. два класса смежности, соединяются стрелкой, если один получается из другого умножением на элемент Ь, и соединяются неориентированным ребром, если происходит умножение на элемент а второго порядка. Предложение доказано. ¦
Введем полезное понятие максимально симметричного /-графа. Для простоты ограничимся здесь рассмотрением лишь собственных симметрий /-графов.
Определение 2.20. /-граф Г называется максимально симметричным, если его группа собственных симметрий транзитивно действует на множестве его вершин.
Поясним — почему мы говорим именно о максимальной симметричности. Как было уже объяснено, каждая собственная симметрия /-графа однозначно определяется образом любой вершины /-графа. Следовательно, порядок группы собственных симметрий всегда не больше числа вершин /-графа. Поэтому /-граф естественно считать максимально симметричным в том и только в том случае, когда число его вершин в точности равно порядку группы собственных симметрий.
Теорема 2.12.
а) Если f-граф Г максимально симметричен, то можно всегда так выбрать образующие в его группе собственных симметрий, что соответствующий граф J группы симметрий совпадет с графом Г.
б) Если порядок группы собственных симметрий некоторого /-графа равен количеству его вершин, то этот f-граф является максимально симметричным.
в) Максимально симметричные /-графы взаимно-однозначно соответствуют нормальным делителям группы Z * Z2, имеющим конечный индекс и не содержащим элементов конечного порядка.
Доказательство.
а) Возьмем произвольную вершину /-графа, отметим ее как жо, и рассмотрим пару симметрий b и а, сдвигающих эту вершину вдоль ориентированного и неориентированного ребер /-графа, инцидентных с выбранной вершиной. Существование таких преобразований вытекает из предположенной транзитивности группы симметрий на /-графе. Легко проверить, что композициями этих преобразований Ь, 6-1 и а можно перевести выбранную нами вершину в любую другую вершину /-графа. Далее ясно, что преобразования b и а порождают всю группу собственных симметрий. Фиксируем выбранные нами две образующие b и а группы симметрий. В силу транзитивности и свободности действия группы
108
Глава 2
симметрий (нет вершин, остающихся на месте при нетривиальной симметрии), имеется взаимно-однозначное соответствие между вершинами /-графа Г и элементами группы собственных симметрий Sym(r). А именно, вершина вида g(xо) соответствует элементу g группы Sym(r). При этом вершины gi(xo) и g2(xо) соединены ориентированным ребром тогда и только тогда, когда = g2b. И соединены неориентированным ребром в том и только в том случае, когда gi = g2a. Первый пункт теоремы доказан.
б) Этот пункт теоремы фактически следует из определения максимальной симметричности /-графа.
в) Это утверждение сразу вытекает из пункта (б) теоремы 2.11. В самом деле, класс сопряженности нормального делителя в группе состоит из самого нормального делителя. Порядок группы симметрий в этом случае равен числу элементов в фактор-группе (Z * TL^fG, а это число в свою очередь равно числу вершин графа Г(С'). Наоборот, если атом максимально симметричен, то порядок группы N(G)/G и порядок группы (Z*Z2)/Gf совпадают. Поэтому N(G) совпадает со всей группой Z * Z2, то есть подгруппа G является нормальным делителем.
Теорема доказана. ¦
Сформулируем теперь естественный вопрос: для каких конечных групп можно так выбрать порождающие их элементы (не обязательно минимальную систему образующих), что соответствующий граф J является /-графом, т. е. описывает некоторый атом. Ответ вытекает из теоремы 2.12.
