Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Снова, как и в предыдущем случае, группа симметрий построенного атома совпадает с группой симметрий исходного разбиения на треугольники и поэтому является максимальной. Следовательно, мы предъявили серию атомов, удовлетворяющих условию т = 3, / = 6 (или наоборот, т = 6, / = 3), п делится на 3.
Докажем, что этими двумя сериями исчерпывается множество всех максимально симметричных атомов рода g = 1, т. е. расположенных на торе. Рис 2 51
Как мы уже отметили выше, вместо классификации максимально симметричных атомов V = (Р, К) можно классифицировать максимально симметричные разбиения поверхности Р. В данном случае — тора.
Поскольку сейчас нас интересует именно тор, то можно рассмотреть универсальное накрытие тора плоскостью. Атом V при этом накрывается каким-то бесконечным атомом V, вложенным в плоскость. Аналогично, описанное нами разбиение тора графом L(K) на области, накроется соответствующим максимально симметричным разбиением плоскости на области. Отметим, что максимальная симметричность получающегося разбиения плоскости следует из того, что каждая симметрия поднимается с базы, т. е. с тора, до некоторой симметрии на накрывающей плоскости.
Поскольку мы уже знаем полный список всех решений системы уравнений, то видим что получившееся разбиение плоскости должно удовлетворять одному из следующих двух условий: либо т = / = 4, либо т = 6, / = 3 (или наоборот, т = 3, / = 6). Отсюда видно, что разбиение плоскости на правильные
1 ¦ ¦ .6 ; -ri-;;•. р — - г . у . ¦ >
0 12 3^56
Рис. 2.52
116
Глава 2
Максимально симметричные плоские
атомы
Рис. 2.54
С) d)
Рис. 2.56
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
117
области устроено так. Либо это разбиение на квадраты, либо — разбиение на треугольники. Легко видеть, что тогда оно совпадает с точностью до гомеоморфизма либо со стандартным разбиением плоскости на квадраты, либо со стандартным разбиением плоскости на правильные треугольники. Но эти два разбиения как раз и давали нам две бесконечных серии максимально симметричных атомов. При т = 3, / = 6 мы получим разбиение на шестиугольники, двойственное к разбиению на треугольники. Это не дает новых атомов, и поэтому мы такой случай можем отдельно не рассматривать.
Решетка, по которой происходит факторизация плоскости, очевидно должна сохраняться при симметриях атома. Для разбиений плоскости на квадраты эта решетка должна переходить в себя при повороте на угол Следовательно,
она устроена в точности так, как уже описанная нами выше решетка. Нужно взять произвольный узел (ki,k2) решетки и повернуть соответствующий вектор на угол Итак, в случае разбиения плоскости на квадратные области ничего
другого, кроме указанной нами серии атомов, — нет. Совершенно аналогично рассматривается и случай разбиения плоскости на треугольники. И здесь получается, что предъявленная нами серия атомов — единственная. Здесь вектор вида (fci, k2) нужно поворачивать на угол Пункт (б) теоремы доказан.
О
в) Случай сферы, т. е. g = 0. Максимально симметричные разбиения сферы хорошо известны. Напомним их описание и укажем соответствующие им атомы. Здесь мы имеем
п _ 21т
2(1 + т) — 1т
Легко видеть, что все интересующие нас пары (т, I) решений таковы (см. рис. 2.52):
а) т = / = 3, п = 6,
б) т = 3, / = 4 (или т = 4, / = 3), п = 12,
в) т = 3, / — 5 (или т = 5, / = 3), п = 30,
г) т = 2, I = целое > 0 (или / = 2, т = целое > 0), п = I.
Максимально симметричные разбиения, соответствующие этим решениям, хорошо известны. Это — так называемые Платоновы тела и еще два специальных разбиения. См., например, книгу Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена [57]. Напомним, что Платоновы тела — это пять классических многогранников, показанные на рис. 2.53, — тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Два других специальных правильных разбиения изображены на рис. 2.54. Других правильных разбиений двумерной сферы нет.
Осталось предъявить в явном виде атомы, отвечающие пяти Платоновым телам и двум специальных сериям. На рис. 2.53 пунктиром изображены скелеты К атомов, отвечающих Платоновым телам. Как и выше, достаточно соединить середины соседних ребер, сходящихся в одной вершине Платонова тела. Напомним,
118
Глава 2
что общее правило построения атома по заданному разбиению поверхности на многоугольные области показано на рис. 2.37. Как видно из рис. 2.53 получается в действительности не пять, а всего лишь три различных атома. Первый получается из тетраэдра. Второй получается из октаэдра или из куба. Третий — из икосаэдра или додекаэдра.
Два специальных разбиения двумерной сферы порождают один и тот же атом. Его скелет К показан пунктиром на рис. 2.54.
