Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Следствие (о максимально симметричных /-графах).
а) Пусть конечная группа S порождена двумя элементами (не обязательно минимальной системой образующих), один из которых имеет второй порядок. Тогда соответствующий им граф J обязательно является /-графом. Причем, этот f-граф является максимально симметричным.
б) Наоборот, если задан максимально симметричный f-граф, то он является графом J для некоторой конечной группы S. Эта группа порождена двумя элементами, — не обязательно минимальной системой образующих, — один из которых имеет второй порядок, а порядок другого элемента может быть любым, в том числе этот элемент может быть например единицей группы. Группа S является группой симметрий исходного /-графа. Выбор указанной пары элементов неоднозначен.
Напомним, что описание всех конечных групп до какого-то фиксированного порядка — это исключительно сложная задача. Тем не менее для групп небольших порядков описание существует в виде таблиц. Например, в книге [91] дано описание всех неабелевых конечных групп до порядка 32. Эти группы перечислены в виде таблиц их копредставлений, т. е. указаны образующие и соотношения. Поскольку порядок группы есть число вершин /-графа, следовательно, этот список, в принципе, позволяет нам вычислить список всех максимально симметричных /-графов с числом вершин до 32 включительно. Для этого нужно отобрать из указанного списка конечных групп лишь те, которые допускают копредстав-ление с двумя образующими, из которых одна имеет второй порядок. Отметим,
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
109
что для одной и той же группы могут, в принципе, существовать несколько разных копредставлений такого вида. Следовательно, получим не один, а несколько соответствующих /-графов. Отметим, что хотя такие /-графы не изоморфны, однако у них одна и та же группа симметрий, т.е. исходная конечная группа.
Итак, при перечислении всех максимально симметричных /-атомов естественно возник класс конечных групп S, задаваемых следующим копредставлени-ем:
где многоточие обозначает другие, дополнительные соотношения, которые могут быть произвольными. Доказанное выше следствие можно переформулировать теперь так.
Следствие. Копредставления вида S = {а, Ъ | а2 = е,...}, задающие конечные группы, взаимно-однозначно соответствуют максимально симметричным ориентированным /-атомам. При этом, группа S оказывается группой симметрий соответствующего ей /-атома.
Интересен вопрос вычисления рода атома, если известно его задание, — а точнее, задание отвечающего ему /-графа, — в виде копредставления S = {а, Ъ \ а2 = е,... } конечной группы S. Ответ дается следующей теоремой.
Теорема 2.13 (Ю. А. Браилов). Пусть задано копредставление S = {а, b \ а2 = = е,... } конечной группы S. Рассмотрим соответствующий этому копредстав-лению атом V и поверхность Р, получающуюся заклейкой дисками всех граничных окружностей атома. Тогда эйлерова характеристика поверхности Р может быть вычислена по формуле
Следовательно, род g(V) атома V вычисляется по копредставлению S так:
В таблице 2.3 мы приводим полный список всех максимально симметричных /-графов с числом вершин до 6 включительно. Отметим, что число вершин у /-графа всегда четное. Здесь мы пока считаем, что все вершины /-графа имеют кратность три. В дальнейшем у нас появятся и /-графы с вершинами кратности два. Такие вершины мы будем называть звездочками. Соответствующие атомы естественно назвать максимально симметричными. Мы видим, что таких атомов сравнительно немного. А именно, среди всех атомов до сложности 3 включительно максимально симметричными оказались лишь следующие атомы: В, Ci, С2, Е\, Е3.
Прокомментируем таблицу 2.3. В первом столбце дано обозначение атома. Во втором столбце изображен его /-граф. В третьем столбце — группа симметрий /-графа и ее копредставление, определенное, вообще говоря, неоднозначно. В четвертом столбце указаны два элемента, порождающие эту группу. При этом первым поставлен элемент второго порядка.
S = {а, Ъ | а2 = е,... },
110
Глава 2
Из таблицы 2.3 видно, что в одной и той же группе симметрий можно по-разному выбирать пару порождающих элементов, чтобы получить полный список всех максимальных /-графов. Например, так сделано для групп Z2, Ze, D3. В результате получаются различные максимально симметричные /-графы. В таблице каждой из этих групп отвечают по два /-графа.
Что имеется здесь в виду под разным выбором пары порождающих элементов в группе <?? Это означает, что две выбранные нами пары элементов нельзя перевести друг в друга одним и тем же сопряжением группы G.
2.8.5. Список плоских максимально симметричных атомов. Примеры максимально симметричных атомов произвольного рода
Напомним, что род атома V — (Р2, К) — это род двумерной ориентированной поверхности Р, получающейся из атома заклейкой дисками всех его граничных окружностей. Сейчас мы обсудим вопрос — сколько существует максимально симметричных атомов фиксированного рода. Для плоских атомов получается полная классификация.
