Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
g =
(п- 1 2 :
п — 2
если п нечетно,
если п четно.
2 ’
Для атомов серии Yn их род g вычисляется по формуле:
' п — 1
g =
—2—? если п нечетно,
Т)
если п четно.
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
113
Рис. 2.46
Рис. 2.47
Обе серии атомов максимально симметричны. Группа симметрий атомов серии Хп изоморфна Zn®Z2, а группа симметрий атомов Yn изоморфна Z2n. В обоих случаях порядок группы равен 2п. Впрочем, стоит отметить, что атомы Хп при нечетном п изоморфны атомам Yn при нечетном п. Условно можно записать Х2р+1 = Y2p+1. При четном п = 2р атомы Х2р и Y2p не изоморфны. У них разный род, и разные группы симметрий. Изоморфизм атомов X2p+i и Y2p+i можно получить просто поменяв знак функции / на /-атоме X2p+i. Поэтому, окончательно, две серии различных атомов рода g > 1 выглядят так. Это Хп, где п — любое, большее чем 3, и Y2p, где р > 1.
Полезно изобразить обе серии атомов на симметричной плоской развертке сферы с g ручками, то есть на ее плоском фундаментальном многоугольнике. Для серии атомов Хп нужно взять фундаментальный 2п-многоугольник в виде
• • • (aiai-г) ¦ ¦ • 1)
и нарисовать на нем скелет К атома Хп как показано на рис. 2.46. Здесь, как обычно, для восстановления сферы с g ручками, нужно склеить стороны фундаментального многоугольника, помеченные одинаковыми буквами с учетом их ориентации.
Для серии атомов Yn нужно взять плоский фундаментальный 2п-угольник в симметричном виде
(ciici2 ... ttn) (tt^ ci2 ... cin )
и нарисовать на нем скелет К атома Yn как показано на рис. 2.47.
б) Случай тора, т. е. g = 1. Здесь система уравнений принимает вид:
1т = 2(1 + т), pi = 2 п, qrn = 2 п.
Полный список всех целых положительных решений этой системы выглядит так.
1-я серия: т = I = 4, п четное.
114
Глава 2
2-я серия: т = 3, I = 6 (или наоборот, т = 6, I = 3), п делится на 3. Предъявим две соответствующие бесконечные серии максимально симметричных атомов.
Рис. 2.48
Построение атомов первой серии. Рассмотрим на евклидовой плоскости М.2 стандартное разбиение на квадраты со стороной единица. См. рис. 2.48. Пусть (Л?1, Л?2) и (к2, —ki) — пара ортогональных целочисленных векторов, где целые числа ki,k2 — произвольные. Рассмотрим решетку на плоскости, порожденную этими векторами. Она квадратная, то есть ее фундаментальной областью является квадрат, натянутый на векторы (ki,k2) и (k2,—ki). Возьмем фактор плоскости М.2 по этой решетке. Получится двумерный тор. Он разбит на квадраты, происходящие из исходного разбиения плоскости на мелкие квадраты. Легко видеть, что это разбиение максимально симметрично в указанном выше смысле.
Изготовим из этого разбиения атом тем способом, который был описан в пункте 7.7. Отметим середины ребер всех мелких квадратов на торе. Соединим их попарно как показано на рис. 2.49. Получится граф с вершинами кратности 4. Его мы возьмем за граф К конструируемого атома. Сам атом возникает как трубчатая окрестность своего графа К (рис. 2.49). Группа симметрий этого атома совпадает с группой симметрий исходного разбиения плоскости на мелкие квадраты. Почему этот атом максимально симметричен? Потому, что мы начинали с максимально симметричного разбиения. В самом деле, любое ребро можно перевести посредством симметрий исходного мелкого разбиения — в любое. Далее, любое ребро можно отобразить на себя посредством тех же симметрий, поменяв местами концы ребра. При переходе от исходного мелкого разбиения к атому мы видим, что каждое ребро превратилось в вершину. Следовательно, группа симметрий транзитивно действует на множестве вершин атома, и кроме того, для каждой вершины атома существует симметрия, которая действует в окрестности этой вершины как центральная симметрия. Это и означает максимальную симметричность атома (см. теорему выше). Подчеркнем здесь важность того обстоятельства, что решетка, по которой мы факторизовали плоскость, выдерживает поворот на угол Легко видеть, что здесь m = / = 4 и п — четное.
Рис. 2.50
Топология слоений, порождаемых функциями Морса
115
Построение атомов второй серии. Теперь вместо квадратного замощения плоскости, рассмотрим разбиение плоскости Ж2 на равносторонние треугольники (рис. 2.50). Снова возьмем произвольный вектор этой треугольной решетки и повернем его на угол Получившиеся таким образом два вектора возьмем за базис новой решетки. Она, очевидно, инвариантна относительно поворота на угол Рассмотрим тор, получающийся факторизацией плоскости по этой решетке. На торе возникает разбиение на равносторонние треугольники. Как и в предыдущем случае это разбиение максимально симметрично, и мы построим по нему атом. В качестве его вершин возьмем середины сторон треугольников, и соединим их попарно, как показано на рис. 2.51. Получится атом, у которого все положительные циклы имеют одинаковую длину / = 6, а все отрицательные циклы — одинаковую длину т = 3. Или наоборот, т. е. / = 3, т = 6, что зависит от выбора направления роста функции / на атоме.
