Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
ОО
i,j=О
И ПОЛОЖИМ
оо
A*(S) = A*f(S) = ^2 лkzk, где Хк = акк.
ки S.
где cn(f) — функция класса Сп на отрезке [0, /о].
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков
275
Легко видеть, что в этом представлении полином от /, стоящий перед логарифмом, определен однозначно. Что произойдет с функцией тг(/), при диффеоморфизме, меняющем область G? Легко видеть, что отрезки iV* заменятся на некоторые другие трансверсальные отрезки Щ, что повлияет лишь на функцию cn(f), к которой добавится некоторая С^-гладкая функция, характеризующая «расстояние» между новыми и старыми отрезками.
Таким образом, коэффициенты полинома Ylk=о akkfk могут быть определены инвариантным образом как коэффициенты в асимптотике функции тг(/). С другой стороны эти коэффициенты в совокупности задают Л*-инвариант особой точки S.
Комментарий. Как уже было отмечено в следствии из леммы 6.2, функция 7г(/) допускает следующее представление:
*"(/) = -А(/)1п/ + с(/),
где А(/) и с(/) — С^-гладкие функции на [0, /о]. Легко видеть, что Л*-инвариант векторного поля в особой точке S — это в точности ряд Тейлора функции А(/).
Итак, в частности, мы показали, что «канонический вид» симплектической структуры (см. лемму 7.2) определен почти однозначно. Говоря точнее, однозначно будет определено тейлоровское разложение u>(z) в нуле. Нетрудно показать с другой стороны, что любая функция u>(z) с тем же тейлоровским разложением может быть реализована путем выбора подходящей системы координат. Заметим еще, что во всех этих рассуждениях гамильтониан / предполагался фиксированным. Поэтому в результате мы приходим к следующему утверждению.
Предложение 7.1. Пусть Si — невырожденная седловая особая точка гамильтониана fi, uji — соответствующая симплектическая структура, г = 1, 2. Тогда если А*-инварианты точек S± и S2 совпадают, то существует локальный диффеоморфизм ?: Ui(Si) —> U2(S2) такой, что ?*(/2) = fi и ^*{ш2) = И обратно, если такой диффеоморфизм существует, то А*-инварианты особых точек S-l и S2 совпадают.
Мы сформулировали это предложение в терминах гамильтониана и симплектической структуры. На самом деле нас интересует гамильтоново векторное поле. Но поскольку оно полностью определяется парой /, ш, то мы можем переформулировать это предложение следующим образом.
Следствие. Пусть Si — невырожденная седловая особая точка гамильтониана fi и w = sgrad/ — соответствующее гамильтоново векторное поле, г — 1, 2. Тогда если А*-инварианты точек Si и S2 совпадают, то существует локальный диффеоморфизм ?: Ui(Si) —> U^Sz), сохраняющий гамильтониан (т.е. /2 ° ? = fi) и переводящий поле w\ в поле w2. И обратно, если такой диффеоморфизм существует, то А*-инварианты особых точек Si и S2 совпадают. Другими словами, гамильтоновы векторные поля w\ и w2 сопряжены (с условием сохранения гамильтониана) тогда и только тогда, когда их А*-инварианты совпадают.
276
Глава 7
Условие сохранения гамильтониана для нас, однако, является лишним и от него можно естественным образом избавиться. Для этого следует проконтролировать зависимость Л* от выбора гамильтониана.
Пусть g — некоторый другой гамильтониан данного векторного поля в окрестности точки S (разумеется и симплектическая структура тоже другая). Пусть g(S) = 0. Тогда, поскольку гамильтонианы друг через друга выражаются, мы можем разложить / в точке S в ряд по степеням g:
ОО
f = '52bkgk, Ъ\ ф 0. к=1
Легко видеть, что в результате мы получим новый ряд Ag(S) = Afc^S ко_
торый получается из Af(S) = YkLo ^к%к формальной заменой г = YT=i Ьк%к-Таким образом, инвариант Л* определен, вообще говоря, по модулю формальных замен, и мы можем сформулировать окончательный результат следующим образом.
Предложение 7.2. Два гамильтоновых векторных поля, заданные в окрестностях своих седловых особых точек, гладко сопряжены тогда и только тогда, когда их Л*-инварианты сопряжены формально.
Нетрудно описать все классы сопряженности гамильтоновых векторных полей в седловой особой точке. Этих классов столько же, сколько классов формально сопряженных степенных рядов в указанном выше смысле. Для степенных рядов (от одной переменной) нетрудно указать канонический представитель в каждом классе.
Лемма 7.3. Любой степенной ряд от одной переменной формально сопряжен одному из следующих полиномов:
А,
А + z,
X + z2, X — z2,
X + z3,
X + z4, X — z4,
X + z2k_1,
X + z2k, X-z2k,
и так далее, где X — некоторое число. Все эти полиномы попарно не сопряжены. Доказательство.
Рассмотрим произвольный степенной ряд
А + anwn + an+iwn+1 + ...
Пусть п — четно и ап > 0. Тогда этот ряд формально сопряжен полиному А + zn. Формула замены такова:
