Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы далее не заниматься формальной стороной этого вопроса, мы будем предполагать далее, что функции периодов фиксированы. Существуют ли какие-нибудь еще гладкие атомные инварианты помимо функций периодов и Л*-инва-риантов?
Оказывается, если атом является плоским, то этих инвариантов уже достаточно. Если же нет, то появляется еще один ^-инвариант, который является гладким аналогом топологического Z-инварианта. Опишем эту конструкцию. Ее
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков
279
идея полностью соответствует доказательству того факта, что любую систему можно построить с помощью операции вклейки-вырезания из системы с нулевыми инвариантами А и Z (см. предложение 6.4).
Итак, рассмотрим произвольную гладкую систему w = sgrad / на атоме Р. Рассмотрим все вершины графа К и окружим их каноническими крестами. Теперь «разрежем» атом вдоль граничных отрезков этих крестов. В результате атом распадется на «кресты» и «прямоугольники» (см. рис. 7.2). Термин «прямоугольник» мы употребляем здесь довольно условно. Точнее следовало бы говорить об участке атома, ограниченном двумя трансверсальными отрезками 7V+ и Nf к одному и тому же ребру Ki графа К. Оба эти отрезка параметризованы значением гамильтониана / в их точках. Рассмотрим функцию шг(/), которая измеряет «расстояние» между этими отрезками. Более точно, если 'jf — некоторая траектория векторного поля w с данным значением гамильтониана / на ней и у+ = N* П 7/, у~ = Nr П 7/ (см. рис. 7.3), то шг-(/) — это расстояние между этими точками в смысле гамильтонова потока ег*, т.е.
Таким образом, на каждом ребре графа К возникла некоторая гладкая функция гаг-(/). Рассмотрим теперь формальную коцепь га* = ^ пцК*, где К* — ребра сопряженного графа, интерпретируемую как базис в пространстве одномерных коцепей, а гаг- — формальный ряд Тейлора функции гаг-(/) в нуле. Эта цепь является точным гладким аналогом коцепи га, которая фигурировала в определении операции вклейки-вырезания. В гладком случае также есть естественный аналог этой операции, однако здесь естественно считать, что боковые стороны «прямоугольников» являются криволинейными, так что «прямоугольник» имеет переменную ширину, измеряемую как раз функцией га*.
Ясно, что коцепь га* определена неоднозначно, поскольку она зависит от выбора канонических крестов вокруг каждой вершины. Однако мы утверждаем, что если гамильтониан считается фиксированным, то инвариантом является класс этой коцепи [га*] по модулю кограниц В1(Р, М[/]) с коэффициентами в кольце степенных рядов М[/].
Покажем это. Для этого достаточно проверить, что класс [га*] не зависит от выбора канонических крестов.
Рис. 7.2
Рис. 7.3
(/) (»-)•
280
Глава 7
Тот факт, что при изменении га* на кограницу система не меняется, уже был фактически доказан в лемме 6.5, единственное отличие состояло в том, что в топологическом случае коэффициентами были вещественные числа, которые в гладком случае заменились формальными степенными рядами.
Посмотрим более подробно, в чем состоит произвол в выборе канонического креста U(S), окружающего вершину S. Другими словами, каким преобразованиям можно подвергать такой крест с сохранением его каноничности.
Во-первых, можно подвергнуть крест сдвигу вдоль векторного поля w, т.е. преобразованию вида сг<0. Поскольку поток имеет интеграл /, мы можем обобщить это преобразование следующим естественным образом. Пусть g(f) — произвольная гладкая функция. Тогда каждую точку х мы будем сдвигать вдоль ее траектории на величину g(f(x)). Другими словами, мы зададим преобразование следующей формулой
Ag(x) — сгё^^\х).
Легко видеть, что это преобразование сохраняет все свойства канонического креста. Что произойдет при этом с коцепью га* ? Легко видеть, что к ней просто добавится кограница вида gS(S*), где g — ряд Тейлора функции g(f) в нуле, a S* — элементарная 0-коцепь, принимающая значение 1 на вершине S и нуль на всех остальных вершинах. Преобразование Ag(x) показано на рис. 7.4.
Еще одно преобразование креста состоит в том, что его граничные отрезки Ni, N2, N3, N4 мы можем заменить на произвольные отрезки, N[, Щ, N%, N^, которые в точках графа К отличаются от начальных отрезков iVi, iV2, N3, N4 на малые «бесконечного порядка» (см. рис. 7.5). Другими словами, Ni и iVz- в точке графа К имеют касание бесконечного порядка малости. Ясно, что при этом функции га*(/) на ребрах графа, вообще говоря, изменятся, но их тейлоровские разложения в нуле останутся прежними, и коцепь га* не изменится вовсе.
Легко видеть, что любое преобразование канонического креста сводится к композиции преобразований двух описанных типов (т.е. сдвига и изменения границы на малую бесконечного порядка).
Таким образом, класс коцепи га* по модулю кограниц определен корректно и, следовательно, является инвариантом.
Теперь, как мы это уже делали в топологическом случае для 1-цепи /, мы можем изготовить из коцепи га* два инварианта. Во-первых, мы можем рассмотреть ее кограницу Д* — бт*. Это, действительно, — гладкий инвариант. Но он, оказывается, не является новым, поскольку, просуммировав коэффициенты 1-коцепи ш* по каждому кольцу Сп (в этом и состоит взятие кограницы),
