Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно аналогичные рассуждения проводятся и для всех других колец типа С{, примыкающих к циклу z изнутри, т.е. со стороны ленты L.
В результате мы получаем 1-цепь I = гДе — совокупность
ребер цикла z. При этом числа /г- равны +1 или —1 если, соответственно, кольцо отрицательно или положительно. Вне цикла z цепь I равна нулю.
Мы утверждаем, что в действительности верно равенство: I = ±z, где знак определяется выбором ориентации z. В самом деле, двигаясь вдоль z в направлении положительного ребра потока w и вдоль отрицательного кольца типа Ci, мы ставим на этом ребре коэффициент +1. Это рассуждение повторяется до тех пор, пока мы движемся вдоль данного кольца (пока оно «не сошло» с цикла z). Как только мы переходим на следующее кольцо, меняется ориентация ребра графа К (поток переворачивается), также меняется знак кольца (например, вместо положительного кольца мы вышли на отрицательное кольцо) и также меняет-
Классификация гамильтоновых потоков
269
ся коэффициент lj, который теперь становится равным —1. Но все это означает лишь то, что значения цепи I и цикла z на этих следующих ребрах продолжают совпадать.
Этот же факт можно усмотреть и из других, более формальных соображений. Дело в том, что га — это 1-коцикл, а при отображении, индуцированном операцией вклеивания-вырезания, 1-коциклы переходят в 1-циклы (лемма 6.6). Поэтому I (как образ га) — это цикл. Ясно, что он должен совпадать с z (с точностью до знака), поскольку оба они имеют одинаковый носитель (на ребрах графа К).
Итак, мы реализовали любой базисный 1-цикл z как Z-инвариант, предъявив (посредством операций вклеивания-вырезания) гамильтонову систему (получающуюся из 0-модели) со значением Z-инварианта, равным z. Отсюда следует, что можно таким же образом реализовать произвольный 1-цикл z, разложив его по базису одномерной группы гомологий поверхности Р. Предложение 6.9 полностью доказано. ¦
Важный комментарий. Из доказательства предложения 6.9 видно, что образом 1-коцикла га при отображении ф2 является 1-цикл z, причем из рис. 6.20 видно также, что их носители гомологичны. Грубо говоря, цикл z идет «рядом» с 1-коциклом га. Отсюда сразу следует, что отображение ф2 является в действительности известным отображением Пуанкаре 7f1(P) —> Н\(Р), устанавливающим изоморфизм между 1-когомологиями и 1-гомологиями двумерной замкнутой поверхности.
Следствие. Гомоморфизм ф2 является изоморфизмом двойственности Пуанкаре как между группами Н1(Р, R) = i?i(P, R), так и между целочисленными группами -ff1(P, Z) = Н1(Р, Z).
Предложение 6.10. Пусть на седловом атоме V заданы произвольные допустимые значения инвариантов А, А и Z. Тогда на этом атоме существует гамильтонова система (получаемая операциями вклеивания-вырезания из 0-модели атома V) с заданными значениями инвариантов А, А и Z.
Доказательство.
Мы должны доказать, что можно реализовать систему с любой наперед заданной тройкой инвариантов Л, А и Z. Фактически это мгновенно будет следовать из факта независимости А и Z, т.е. из факта, что между ними нет никаких соотношений. Берем систему, реализующую требуемые значения А и Z.
Мы уже знаем, что такая система существует и может быть получена из 0-модели подходящей операцией вклейки-вырезания (см. параграф 6.4). Начнем применять к ней операции Фш, где в качестве 1-коцепи га берем 1-коциклы. В результате мы будем получать гамильтоновы системы с прежним значением А-инварианта (см. лемму 6.6). Само собой, при этих операциях не меняется и Л-инвариант. В то же время значения Z-инварианта будут меняться. Как было доказано в предложении 6.9, в результате мы можем реализовать любой 1-цикл из группы Н1(Р).
270
Глава 6
Таким образом, можно произвольно менять Z-инвариант, не меняя при этом значений инвариантов Л и А, что и требовалось доказать. Предложение 6.10 доказано. ¦
6.6. Теорема классификации гамильтоновых систем на замкнутой поверхности с точностью до топологической сопряженности
Получив классификацию гамильтоновых систем с точностью до топологической сопряженности в окрестности особого слоя, мы можем теперь классифицировать их в целом на компактной замкнутой двумерной поверхности. К атомным инвариантам нам нужно будет добавить еще лишь несколько естественных инвариантов. Опишем их.
Функция Морса F (гамильтониан системы) расслаивает поверхность Р на линии уровня. Ясно, что структура этого одномерного лиувиллева слоения является инвариантом системы. Эта структура может быть описана с помощью некоторого графа, который мы будем называть молекулой У, отвечающей этой функции. См. пример на рис. 6.22. Согласно результатам главы 2, эта молекула является полным траекторным инвариантом этой гамильтоновой системы на
2-поверхности.
На каждом ребре молекулы У поста-'s^ вим стрелку, указывающую направление рос-
