Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 7.4
N2
J
S г
Рис. 7.5
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков
281
мы получим конечные части функций периодов
Un(f) = ~A(f)ln\f\+B(f),
точнее, тейлоровские разложения функций Bn(f) в нуле. Действительно, все члены, содержащие логарифмы, мы загнали в канонические кресты, а все «конечные части» распределили по коэффициентам га*. Таким образом, А*-инвариант нам уже известен из функций периодов.
Кроме этого, мы можем ортогонально спроектировать коцепь га* на пространство коциклов Z1(P, М[/]) и рассмотреть соответствующий класс когомологий z* е ях(Р, ж[/]).
Определение 7.2. Класс когомологий Z* мы будем называть Z*-инвариантом интегрируемой гамильтоновой системы w на атоме (Р,К).
Как мы видим, в гладком случае по существу сохранились все типы траекторных инвариантов: Л-инвариант превратился в Л*-инвариант, А-инвариант (0-граница) превратился в А*-инвариант (2-кограница или, что то же самое,
0-граница сопряженного графа), класс 1-гомологий Z превратился в класс 1-когомологий Z*. В гладком случае элементами (коэффициентами) всех этих наборов являются формальные степенные ряды, а не вещественные числа, как в топологическом. Это совершенно естественно, поскольку, говоря неформально, мы должны сшить производные всех порядков. Более того, если мы хотим построить С^-классификацию, то нам достаточно будет просто обрубить эти ряды на определенном шаге. Но здесь мы не будем вдаваться в детали этого вопроса.
7.2. Теорема классификации гамильтоновых потоков на 2-атомах с точностью до гладкой сопряженности
Итак, все гладкие инварианты описаны и мы можем сформулировать теорему гладкой классификации гамильтоновых потоков на атоме.
Потребуем сначала, чтобы при сопрягающем диффеморфизме сохранялся гамильтониан системы. Тогда мы попросту можем считать, что нам даны две системы на одной и той же поверхности Рис одним и тем же гамильтонианом /, однако симплектические структуры для этих систем различны.
Теорема 7.1. Пусть на 2-атоме Р заданы два гамильтоновых потока а\ и (с одним и тем же гамильтонианом, но с разными симплектическими структурами). Пусть соответствующие функции периода, А* -инварианты и Z*-инварианты совпадают. Тогда потоки а\ и гладко сопряжены, т. е. существует диффеоморфизм Р —> Р такой, что °?- При этом диффеоморфизм ?
может быть выбран сохраняющим гамильтониан.
Доказательство.
Во-первых, отметим, что совпадение А*-инвариантов гарантирует существование сопрягающего диффеоморфизма ? в окрестности каждой особой точки гамильтониана, при этом диффеоморфизм может быть выбран сохраняющим гамильтониан. Наша задача теперь — сшить эти локальные диффеоморфизмы в
282
Глава 7
единый диффеоморфизм, определенный на всей поверхности Р. Это действительно можно сделать, поскольку функции периодов совпадают.
Выберем для каждой вершины Sj графа К канонический крест Ui(Sj) в смысле потока и рассмотрим локальный сопрягающий диффеоморфизм в окрестности этой вершины. Пусть U2(Sj) = ?(Ui(Sj)) — образ креста Ui(Sj). Ясно, что U2(Sj) является каноническим крестом для потока В результате мы получаем два разбиения поверхности Р на «канонические кресты» и «прямоугольники», отвечающие двум рассматриваемым гамильтоновым потокам. Для каждого из прямоугольников определена его ширина, т.е. функция вида ш*(/) (см. выше построение инварианта т*). Обозначим в нашем случае эти функции через mu(f) и Ш2г(/), где ш*г(/) — «ширина» прямоугольника на г-ом ребре графа К, отвечающего к-ой системе (разумеется, «ширина» понимается в смысле этой же системы), к = 1, 2. Эти разбиения, в частности, определяют коцепи и т-2.
Когда можно продолжить локальные диффеоморфизмы ?j до глобального сопрягающего диффеоморфизма, определенного на всем атоме? Очевидно, это можно сделать тогда и только тогда, когда mu(f) = rri2i(f) для любого г. Оказывается, этого легко можно добиться изменением локальных диффеоморфизмов Действительно, вместо диффеоморфизмов мы можем рассмотреть сопрягающие диффеоморфизмы вида Ag о где как и выше,
Ае = о^т\х)
и g— некоторая гладкая функция. В результате мы можем изменить коцепь на произвольную кограницу и тем самым добиться того, что т\ = т^-
Это означает, что мы добились того, что функции mu{f) и m2i(f) почти совпадают, более точно, совпадают их тейлоровские разложения в нуле.
Теперь нужно уравнять эти функции тождественно. Эту процедуру можно провести на каждом кольце атома Р по отдельности. Для этого достаточно воспользоваться следующими преобразованиями канонических крестов. Рассмотрим крест U2(Sj) (рис. 7.6).
Траектории, входящие и выходящие из вершины Sj, делят этот крест на четыре куска. Рассмотрим С^-гладкую функцию, которая на трех из этих кусков тождественно равна нулю, а на четвертом имеет вид h(f), где h имеет нуль бесконечного порядка при / = 0 (например, h = mu(f) — Ш2*(/)- Таким образом, h(x) — гладкая функция в окрестности U2(Sj), являющаяся интегралом потока (г!- Рассмотрим теперь преобразование креста U2(Sj), задаваемое формулой
