Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Траекторная классификация. Второй шаг
287
8.1. Избыточное ^-оснащение молекулы (топологический случай). Основная лемма о ^-оснащениях
Начнем с того, что для каждого 3-атома в молекуле выберем и зафиксируем какое-то трансверсальное сечение Ptr, а также допустимые системы координат на граничных торах 3-атома. При этом, для каждого 3-атома трансверсальные сечения и допустимые системы координат нужно выбирать согласованно. Чтобы уточнить,что здесь мы имеем в виду, придется по отдельности рассмотреть все три возможных случая.
Случай 1: Атом А.
Случай 2: Седловой 3-атом, у которого все критические окружности имеют ориентированные сепаратрисные диаграммы (атом без звездочек).
Случай 3: Седловой 3-атом, у которого есть критические окружности с не-ориентируемыми диаграммами (атом со звездочками).
Начнем со случая атома А. Трансверсальное сечение Ptr в данном случае определено однозначно с точностью до изотопии, и является 2-диском. Его границей является исчезающий цикл А на граничном торе полнотория. Этот цикл мы выбираем за первый цикл допустимой системы координат. Второй цикл ц выбираем произвольно, лишь бы пара циклов (А, уи.) образовывала базис на 2-торе.
Рассмотрим второй случай, т. е. седловой атом без звездочек. Здесь мы фиксируем на границе каждого куска Qc допустимые системы координат (Aj, fij) следующим образом. Напомним, что индекс j нумерует граничные торы куска Qc. В качестве первого цикла Xj допустимой системы координат мы возьмем слой расслоения Зейферта. Второй цикл fij высекается на граничном торе Tj трансвер-сальным сечением Ptr, другими словами, fij = Ptr C\Tj. Отметим, что если атом является плоским (т.е. Pfr вкладывается в плоскость), то сечениеPfr однозначно с точностью до изотопии определяется набором циклов {fij}, т.е. своей границей. Однако в общем случае это неверно, т. е. по допустимой системе координат трансверсальное сечение, вообще говоря, однозначно не восстанавливается.
Теперь перейдем к последнему случаю, т. е. к атому со звездочками. В данном случае неверно, что циклы {fij} допустимой системы координат являются границей трансверсального сечения Pfr С Qc• Грубо говоря, эти циклы {fij} составляют всего лишь «половину границы» трансверсального сечения. Более того, для случая атомов со звездочками трансверсальных сечений «очень много». Они могут иметь разную топологию и быть не гомеоморфными. Поэтому сначала нам придется выбрать и фиксировать топологический тип трансверсальных сечений в таких 3-атомах.
Пусть нам задан 3-атом Qc, имеющий критические окружности с неори-ентируемыми сепаратрисными диаграммами. Ему, как мы показали в главе 3, соответствует 2-атом Р со звездочками, являющийся просто базой соответствующего расслоения Зейферта на Qc. В качестве трансверсального сечения Ptr мы должны взять некоторый дубль этого атома, т.е. двумерную поверхность Р с инволюцией х такую, что Р = Р/х (см. подробности в главе 3). Нам нужно выбрать канонический тип этого дубля. Рассмотрим для этого все вершины-звез-дочки 2-атома Р. Каждую из них соединим разрезом с положительной граничной
288
Глава 8
окружностью 2-атома, проходящей мимо этой вершины. Другими словами, мы делаем разрезы 2-атома из «в одном и том же направлении» — от вершин звездочек к положительной границе 2-атома. Затем берем два экземпляра получившейся поверхности и склеиваем из них дубль Р, отождествляя берега «одинаковых разрезов», т.е. отвечающих одной и той же вершине-звездочке. См. рис. 8.1. На этом дубле очевидно определена инволюция х? единственными неподвижными точками которой являются вершины-звездочки.
Построим теперь вложение дубля Р в 3-атом Qc в виде трансверсального сечения Ptr. Вложение должно быть таким, чтобы следующая диаграмма оказалась коммутативной: л
Р > Qc
Р
Существование такого сечения фактически уже было доказано выше. См. главы 3, 5.
Начиная с этого момента, для атомов со звездочками мы будем рассматривать только такие трансверсальные сечения а(Р) = Ptr-Поясним теперь, как используя это сечение, построить допустимые системы координат на граничных торах 3-атома Qc. Рассмотрим произвольный граничный тор Tj С dQc. В качестве первого базисного цикла по определению берется слой расслоения Зейферта. Далее, как мы это уже делали в главе 4, положим jlj = = Ptr П Tj. Все торы Tj естественным образом делятся на положительные и отрицательные (по знаку функции вращения в допустимой системе координат, см. об этом ниже). Легко видеть, что в случае отрицательного тора ]lj представляет собой несвязное объединение двух гомологичных между собой циклов, каждый из которых является сечением расслоения Зейферта. В качестве базисного цикла мы берем один из них. Если тор — положительный, то возможны два случая: либо jlj — объединение двух несвязных циклов, либо jlj — один цикл, имеющий индекс пересечения 2 со слоем расслоения Зейферта. Несложно понять, когда реализуется каждый из этих случаев. Рассмотрим для этого проекцию ж: Ptr —У Р и образ ж(jlj). Этот образ, очевидно, представляет собой одну из граничных окружностей поверхности Р. Пусть Sj — число вершин-звездочек, мимо которых проходит данная окружность (или, что тоже самое, число разрезов, которые мы делали при построении дубля, выходящих на эту окружность). Тогда, если Sj четно, то 'jlj — пара несвязных циклов и, наоборот, если Sj нечетно, то jlj — связный цикл. В обоих случаях мы определим