Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Болсинов А.В. -> "Интегрируемые гамильтоновы системы " -> 125

Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.

Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы — И.: Удмуртский университет, 1999. — 444 c.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка): integriruemiesistemi1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 193 >> Следующая


Bh(x) = (т1{х\х).

Это преобразование является тождественным на трех из четырех частей креста, а четвертая часть подвергается сдвигу, который вблизи графа К является «почти тождественным». С помощью такого преобразования
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков

283

мы можем подправлять функции m2i(f) на каждом кольце, добиваясь равенств mii(f) = Ш2г(/). Легко видеть, что используя условие совпадения функций периодов, мы можем это сделать одновременно для всех г. В результате мы сможем сшить локальные сопрягающие диффеоморфизмы в единый сопрягающий диффеоморфизм, что и требовалось. Теорема доказана. ¦

Комментарий. Доказательство теоремы 7.1 может быть получено другим способом. Идея состоит в том, чтобы сравнивать не сами гамильтоновы потоки а\ и а2, а соответствующие им симплектические структуры и ш2 на поверхности Р (если гамильтонианы фиксированы, то эти задачи эквивалентны). Далее диффеоморфизм переводящий в шг, может быть построен с помощью метода, предложенного Мозером в [337]. При этом, однако, нужно следить за сохранением гамильтониана. Эта идея была реализована Б. С. Кругликовым [98], получившим также некоторые обобщения теоремы 7.1 (в частности, на случай гладкости Ск). В работе Dufour J.-P., MolinoP., Toulet А. [274] был исследован тесно связанный с нашей задачей вопрос о классификации троек (Р2, ш, Т), где ш — симплектическая структура на поверхности Р2, а Т — одномерное слоение с особенностями, порожденное некоторой функцией Морса на Р2.

Как теперь отказаться от условия сохранения гамильтониана? Достаточно посмотреть, что будет происходить с инвариантами фиксированной гамильтоновой системы, если ее гамильтониан мы будем менять (меняя одновременно и симплектическую структуру, но оставляя систему неизменной). В принципе, мы можем сформулировать явно некоторое формальное правило изменения инвариантов. Например, для Л*-инварианта это будет формальное сопряжение степенных рядов. Остальные инварианты также могут быть представлены в виде некоторых степенных рядов, и для них тоже можно указать закон формального сопряжения. В результате окончательная формулировка теоремы классификации будет такой: две гамильтоновы системы w\ и w2 на атоме гладко сопряжены тогда и только тогда, когда наборы их инвариантов (AJ, AJ, Z?) и (А2, Д2, Z2) сопряжены формально.

Однако правило формального сопряжения будет довольно громоздким, поэтому мы поступим иначе и еще раз напомним метод, позволяющий тестировать две заданные системы на сопряженность. Итак, пусть на одном и том же атоме даны две гамильтоновы системы. Рассмотрим функции периодов этих систем на кольцах атома. Фиксируем какое-либо кольцо и сравним функции периодов ITi(/i) и П2(/2) на этом кольце. Они, разумеется, не обязаны совпадать, поскольку аргументы этих функций (гамильтонианы) никак между собой не связаны. Согласно лемме 7.4 мы можем изменить гамильтонианы Д и f2 таким образом, чтобы эти функции приобрели вид

П<(/,0 = -Ai(fl)]n\fl\, г = 1,2.

После такой замены гамильтонианов в случае сопряженности систем наборы инвариантов (AJ, Д?, Z{) и (А2, Д2, Z2) обязаны совпадать. Таким образом, при условии, что какое-то кольцо атома мы считаем выделенным, мы можем определить инварианты гамильтонова потока, которые не будут зависеть от выбора гамильтониана.
284

Глава 7

Рис. 7.7

Замечание. С формальной точки зрения эта процедура может быть интерпретирована следующим образом. Каждой гамильтоновой системе с заданным гамильтонианом можно поставить в соответствие набор инвариантов. Меняя гамильтониан, мы автоматически меняем эти инварианты. В результате на множестве инвариантов возникает действие «группы замен гамильтонианов». Настоящим инвариантом потока, который не зависит от выбора гамильтониана, является орбита этого действия. Процедура, описанная выше, состоит в точности в том, что для каждой орбиты мы однозначно указываем некоторый представитель. Этот представитель выделяется тем условием, что значение Д*-инварианта на выделенном кольце равно нулю.

Теперь мы, в частности, можем сказать, сколькими параметрами параметризуется множество классов гладко сопряженных гамильтоновых систем на фиксированном атоме V = = (Р2, К). Напомним, что в топологическом случае это множество было конечномерным. Здесь же, как показывает несложный подсчет, множество классов сопряженности параметризуется формальными степенными рядами в количестве 2к штук, где к — число вершин атома.

Наконец, полезно посмотреть, как устроены эти инварианты в случае простейших атомов. В случае атома В (рис. 7.7) имеется одна вершина, следовательно, инвариантами являются два степенных ряда. Наиболее естественными инвариантами здесь являются функции периодов на кольцах атома. Теорема классификации для этого атома звучит очень естественно: две системы на атоме В гладко сопряжены тогда и только тогда, когда гладко сопряжены функции периодов. Подчеркнем, однако, один существенный момент. В данном контексте гладкая сопряженность означает не только то, что сопрягающие диффеоморфизмы являются гладкими вплоть до нуля (нуль включается), но и то, что эти диффеоморфизмы гладко сшиваются в нуле. Другими словами, все три диффеоморфизма обязаны иметь одно и то же тейлоровское разложение в нуле. Отметим также, что функции периода на разных кольцах не могут выбираться совершенно произвольно друг от друга. Необходимым является следующее условие. Если мы рассмотрим сумму функций периодов по всем отрицательным кольцам и аналогичную сумму — по всем положительным:
Предыдущая << 1 .. 119 120 121 122 123 124 < 125 > 126 127 128 129 130 131 .. 193 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed