Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
г = w(an + an+1w + ... )1/n.
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков
277
Здесь, конечно, имеется в виду формальное разложение радикала в ряд Тейлора по степеням w. Если ап < 0, то формула замены пишется аналогично.
Если п нечетно, то формула — аналогична. Лемма доказана. ¦
Комментарий. В общем случае (не обязательно гамильтоновом) гладкая классификация потоков в окрестности седловой особой точки может быть получена с помощью теоремы Ченя (которая сводит гладкую классификацию к формальной классификации степенных рядов) и теоремы Пуанкаре-Дюлака (которая определяет канонический вид соответствующего степенного ряда), см. [11]. Последнее наше утверждение тоже может быть получено с использованием этих классических результатов. Однако в дальнейшем нам понадобится условие сохранения гамильтониана, поэтому мы действовали несколько иначе.
Ниже нам будет полезно еще одно утверждение, касающееся поведения системы в окрестности седловой особой точки. Рассмотрим снова крест U(S), окружающий особую точку, рис. 7.1. Легко видеть, что изменением границ креста, т.е. отрезков N±, N%, N3, N4, мы можем добиться того, чтобы все четыре функции TTi(f) (г = 1, 2, 3, 4) имели вид
ТГг(/)=-А(/)1п|/|,
т.е. все функции вида с(/) из разложения, выписанного выше, тождественно равны нулю. Крест U(S), удовлетворяющий этому условию, мы будем называть каноническим. Подчеркнем, что это понятие зависит от выбора гамильтониана.
Рассмотрим теперь гамильтоново векторное поле w в целом на атоме, т.е. в некоторой окрестности критического слоя К = /-1(0) гамильтониана /. Если мы выбросим из поверхности Р граф К, состоящий из незамкнутых траекторий и особых точек поля w, то поверхность распадется в несвязное объединение колец. Каждое кольцо Сп является однопараметрическим семейством замкнутых траекторий, причем функция / может быть рассмотрена как естественный параметр данного семейства. Поскольку каждая траектория замкнута, то она имеет некоторый период, и мы можем для каждого кольца Сп определить естественную функцию периода Пn(f), указывающую, чему равен период траектории с данным значением функции / на ней.
Ясно, что функции периода с точностью до сопряжения являются инвариантами векторного поля /. В непрерывном случае, кстати, они также являются инвариантами. Но там мы должны были рассматривать сопряженность с точностью до гомеоморфизмов, поэтому этот инвариант оказывался тривиальным. Действительно, все функции периодов монотонно стремятся к бесконечности при подходе к особому слою, поэтому с топологической точки зрения любые две из них сопряжены. В гладком случае ситуация другая.
Рассмотрим сначала функцию периодов на одном из колец. Она, как мы уже видели, имеет представление
П„(/) = -Л(/)1п/+ ??(/),
где А и В — некоторые гладкие функции на [0,/о]. Сами эти функции однозначно не определены, но их тейлоровские разложения в нуле будут определены
278
Глава 7
однозначно, причем ряд Тейлора функции A(f) будет совпадать с суммой Л*-ин-вариантов всех вершин (особых точек), мимо которых проходит это кольцо. Рассмотрим две функции указанного типа
П(/) = —A(f) In/ + B(f), n'(f) = -A'(f)\nf + B'(f).
Что можно сказать о их гладкой сопряженности? Другими словами, когда существует гладкая на отрезке [0, ?о] замена /' = т(/) такая, что
П(/)=П'(т(/))?
Оказывается, условие гладкой сопряженности накладывает очень серьезные ограничения на пару этих функций. Вопрос сводится к классификации пар A(f), B(f) тейлоровских разложений функций А и В в нуле. Нетрудно выписать формальные преобразования этих рядов при формальной замене / на /'. Но мы не будем этого делать, а укажем некоторый (тоже формальный) способ выбора некоторого канонического представителя в каждом классе.
Лемма 7.4. Для любой функции вида П(/) = — A(f)lnf + B(f) существует гладкая замена / = т(/') на [0, Eq], приводящая эту функцию к виду П(т(/')) = = —A'(f') Inf, т. е. полностью уничтожающая конечную часть этого представления. Функция r(f) определена при этом однозначно, с точностью до любых «бесконечно малых» изменений, не меняющих ее ряд Тейлора. Две функции вида
-A'{f)\nf и -А" (Г) In Г,
гладко сопряжены на некотором достаточно малом отрезке [0, ?о] тогда и только тогда, когда тейлоровские разложения функций А! и А" совпадают.
Таким образом, класс гладкой сопряженности функции периода (в окрестности особого слоя) может быть параметризован некоторым степенным рядом. В частности, таких классов и, следовательно, гладких инвариантов бесконечное число (точнее — счетное число вещественных параметров).
Отметим, что наш случай еще сложнее. Мы имеем не одну, а несколько функций периодов для одного и того же атома, которые отвечают его кольцам. Причем, говоря о сопряженности двух наборов функций периодов, мы должны помнить, что сопрягающая замена /' = т(/) должна быть одной и той же для всех функций из этого набора, что еще более увеличит число инвариантов. Ясно, что с формальной точки зрения вопрос о сопряженности двух наборов функций периодов может быть решен с использованием леммы 7.4.
